Über Beziehungen der Strahlenkomplexe zweiten Grades zu den Flächen zweiter Ordnung ...

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~ 7.
Anderer Beweis des Satzes von Lie.
Der Vollständigkeit halber sei als Ergänzung zu
dem in ~ 4 angegebenen Beweise des Satzes von Lie
noch folgender von Grawe ) gegebener Beweis
angeführt. Dieser macht genau den umgekehrten Weg
und ist insofern einfacher, als er keine Parameterdarst e llung der Erzeugenden verlangt. Wir wollen
den Beweis in etwas modifizierter Form hier wiedergeben.
Beziehen wir wieder unsere Fläche zweiter Ordnung
auf ein eingeschriebenes Koordinatentetraeder, so hat sie
die Gleichung:
() X2 x + a~2 x x + al2 x, x2 + a x1 x4 a- + x2 x4
+ 334 X3X4 == 0.
Das Do p pelv e rhä ltnis der vier Schnittpunkte
einer durch ihre Koordinaten pi gegebenen Geraden mit
den Ebenen des Koordinatentetraeders ist gegeben durch:
(2) -- PS (Vergl. S. 35 ~ 2 (1).)
P2 P5
Die Schnittpunkte dieser Geraden mit den
Koordinatenebenen haben die Koordinaten2):,:x: X3:x 4= 0:3: - p2: p4;
- P3: O:p1:P5;
(+ Pa -: ~: P;
-- P4: -- P5: —P6: 0.
Soll nun die Gerade pi ganz auf der Fläche (1)
liegen, so müssen die Punkte (3) der Flächengleichung
1) Vergl. Anm. s. 1.
') Vergl. O. Staude. Analyt. Geodmetrie des Punktes usw.
~ 59, (13').