Über Beziehungen der Strahlenkomplexe zweiten Grades zu den Flächen zweiter Ordnung ...

42
~ 4.
Direkter Beweis des Satzes von S. Lie.
Mit Hilfe der Darstellung ~ 3, (12) ist nun der
direkte Beweis des Lieschen Satzes ohne große
Schwierigkeiten zu führen.
Sollen die Erzeugenden der Fläche ~ 3, (1) das
Koordinatentetraeder in einem konstanten Doppelverhältnis schneiden, so müssen sie, wie wir festgestellt
hatten, einer Gleichung von der Form:
(1) P1, p - P4 P2 P5 + P3 P P, = 0
genügen. Das ist aber in der Tat der Fall:
Haben wir irgend eine einfache Mannigfaltigkeit
von Geraden gegeben, vielleicht durch die Parameterdarstellung:
(2) Pi =fi (;), i = 1, 2, 3, 4, 5, 6,
so genügen diese der Gleichung (l), wenn gewisse
Bedingungen erfüllt sind, die wir durch Einsetzen von
(2) in (1) erhalten. (1) muß dann identisch in ]2 erfüllt
sein. Die Zahl der Bedingungsgleichungen ist von dem
Charakter der Darstellung (2) abhängig. Ist z B. (2) in
A quadratisch, so werden wir, da (1) in den pi quadratisch
ist, im allgemeinen fünf Bedingungen für die Pi erhalten;
die identische Gleichung ist dann vom vierten Grade. In
diesem Falle werden wir also zur Bestimmung der Pi, die
für zwei unabhängige zählen, zuviel Gleichungen erhalten.
Nur bei ganz speziellem Charakter derDarstellung(2)
werden wir nur zwei Gleichungen erhalten.
Dies letztere trifft nun für die Schar von Erzeugenden
~ 3, (12) zu. In den Verbindungen p,1p; PaPs; P3P6,
kommen, wie man erkennt, nur die Quadrate der </uv
vor und außerdem keine Glieder ohne 2/lu. Dividieren
wir dann z. B. durch v2 und drücken nach ~ 3, (13)
v2