Über Beziehungen der Strahlenkomplexe zweiten Grades zu den Flächen zweiter Ordnung ...

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Diese Gleichung (6) läßt sich nun auf die Form
bringen 1):
(A- 2)3=0;
sie ist also ein vollständiger Kubus und hat zwei
dreifache Wurzeln:
(7) e- + N/A und = - V/A,
wo: A — akli
Mit Hilfe der Bedingung für die vereinigte Lage
zweier Geraden läßt sich nun nachweisen2), daß jede
Erzengende, für die e +- / A ist, von allen Erzeugenden
mit =- / A geschnitten wird und umgekehrt; daß
dagegen zwei Erzeugende, für welche p dasselbe Vorzeichen hat, sich nie schneiden.
Daraus folgt also, daß durch den doppelten
Wert von Q die beiden Scharen von Erzeugenden
getrennt werden.
Es läßt sich ferner zeigen, daß nicht nur die
Determinante (5) für jede der beiden Scharen von
Erzeugenden verschwindet, sondern auch alle Unterdeterminanten fünften und vierten Grades. Deshalb
zählt jedes der beiden Gleichlungssysteme (4) nur
für drei unabhängige Gleichungen.
Wir erhalten also folgenden Satz:
Jede der beiden Scharen von Erzeugenden
einer Fläche zweiter Ordnung besteht aus den
gemeinsamen Geraden dreier unabhängiger
linearer Komplexe, bezl. einer dreigliederigen
Schar von solchen Komplexen.
1) Auf die genauere Ableitung kann hier nicht eingegangen
werden. Man findet diese bei: 0. Staude, Über die Erzeugenden
der Flache zweiter Ordnung, Archiv fir Mathem. und Physik,
dritte Reihe, S. 230 oder 0. St au d e, Analytische Geometrie des
Punktepaares, des Kegelschnittes und der Fläche zweiter Ordnung.
II ~ 147.
2) Siehe Anm. 1.