Über Beziehungen der Strahlenkomplexe zweiten Grades zu den Flächen zweiter Ordnung ...

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Gehört zu einer dreigliederigen Schar von linearen
Komplexen ein Paraboloid, so ist dies nicht der Fall.
Die Unterscheidung der in jedem einzelnen Falle
durch die drei linearen Komplexe (]) bestimmten Mittelpunktsfläche ist füir diesen Spezialfall sehr einfach.
Sind die Parameter kk2.k3 alle positiv oder
alle negativ, so stellt die Gleichung (4) ein imaginäres
Ellipsoid dar, und zwar ändert sich die Fläche nicht,
wenn alle ki zugleich ihr Vorzeichen umkehren.
Sind dagegen zwei von den ki positiv, der
dritte negativ, oder zwei negativ und der dritte positiv,
so stellt (4) ein einschaliges Hyperboloid dar. Auch
dieses ändert sich nicht, wenn sämtliche ki ihr Vorzeichen
umkehren. Die Erklärung dieser Tatsache liegt in der
doppelten Erzeugung einer Fläche zweiter Ordnung.
Wir kommen darauf in den nächsten Abschnitten noch
zurück.
Bei reellen ki können andere Flächen als das
imaginäre Ellipsoid und das einschalige Hyperboloid durch die Komplexe (1) nicht bestimmt sein.
Die übrigen Mittelpunktsflächen beanspruchen imaginäre
Parameter ki.
~ 3.
Umkehrung.
Wie zu jeder dreigliederigen Schar von linearen
Komplexen stets eine Fläche zweiter Ordnung gehört, so
bestimmt auch umgekehrt eine Fläche zweiter Ordnung
mit jeder ihrer Erzeugungen eine dreigliederige Schar
von linearen Komplexen.
Ist eine Fläche zweiter Ordnung allgemein gegeben durch die Gleichung:
4 4
(l) 'i ki ai k Xi Xk = 0,
1 1