Über Beziehungen der Strahlenkomplexe zweiten Grades zu den Flächen zweiter Ordnung ...

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wo k9, k2, k3 beliebige Konstante sind. (Man nennt sie
die Parameter der Komplexe).
In diesem Falle reduziert sich die Determinante
~ 1, (4) auf:
1 0 0 ki 0 0
0 1 0 0 k2 0
0 0 1 0 0 k3
(2) - 0.
x4 0 0 O - x3 x2
0 X4 0 X3 0 - x1
t0 0 X4 - X2 X 0
Entwickelt lautet damit die Gleichung der durch
die Komplexe (1) bestimmten Fläche zweiter
Ordnung [~ 1 (6)]:
(3) k1 x,2 k2 x2 + k3 x32 + kl k2 k3 x42 = 0.
Das zugrundegelegte Koordinatentetraeder ist
demnach für die Fläche (3) ein Polartetraeder.
Indem wir jetzt mit x, y, z, 1 für x1, x2, x3, x4 zu
gewöhnlichen Koordinaten übergehen, nimmt (3) die Form an:
x2 2 Z2
(4) x y z+
k2 k3 k3 k k k 1.
Die in die drei Koordinatenachsen fallenden Hauptachsen der Komplexe (1) müssen demnach konjugierte
Durchmesser der Fläche (4) sein. Stehen die Hauptachsen der Komplexe (1) aufeinander senkrecht, so
haben wir in (4) die Hauptachsengleichung der betr.
Fläche vor uns.
Hieraus folgt nun, daß in einer dreigliederigen Schar
von linearen Komplexen, deren zugehörige Fläche eine
Mittelpunktsfläche zweiter Ordnung ist, stets drei Komplexe
zu finden sein müssen, deren endliche Achsen aufeinander
senkrecht stehen, ebenso muß es unendlich viele Tripel von
Komplexen in der Schar geben, deren Achsen konjugierte
Durchmesser der Mittelpunktfläche sind.