Über Beziehungen der Strahlenkomplexe zweiten Grades zu den Flächen zweiter Ordnung ...

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wir auch Komplexe mit im a g in ä r en Koeffizienten zulassen, alle Flächen zweiter Ordnung vorkommen. Die
Durchführung dieser Untersuchung würde aber im allgemeinen
sehr kompliziert sein wegen der umständlichen Zusammensetzung der Koeffizienten der Gleichung (6). Man kann
aber auf einem Wege, wie er von P l cker 1) angegeben
ist, eine bedeutende Vereinfachung dieser Untersuchung
erzielen. Wir wollen diesen Weg hier kurz skizzieren,
ohne aber auf die nähere Ausführung einzugehen:
Die geraden Linien der Fläche (6) sind nicht nur
den drei Komplexen (1) gemeinsam, sondern allen linearen
Komplexen, welche in der dreigliederigen Schar:
(7);2 C1 + 2 C2, - 3 C3 = 0
enthalten sind. Unter diesen Komplexen befinden sich
nun oo1 spezielle Komplexe, d. h. solche, deren
Geraden sämtlich eine feste Gerade, die Leitlinie oder
Direktrix, treffen. Denn die Bedingung dafür, daß der
allgemeine Komplex (7) ein spezieller ist, lautet2):
(21 A~ + 22 A21 + 3, A3) (21 A~1 + 2 A24 + 3 A34)
-1- (21 A12 +- 2 A22 + 3 A32) (2/ A15 +2 A25 + 23 A35)
+ (3L A1 + 22 A23 + 23 A) (21 A16 + 2 A2 + 2, A36) 0.
Da diese eine Bedingung für die beiden Verhältnisse
2:22:23 besteht, sind in (7) tatsächlich o'o spezielle
lineare Komplexe enthalten.
Ebenso wie wir nun bei einem Kegelschnittbischel
die in diesem enthaltenen Linienpaare als Grundkegelschnitte nehmen können, so können wir auch die dreigliederige Komplexschar (7) durch drei spezielle lineare
Komplexe als Grundkomplexe (1) darstellen. Bei
diesen kann man, wie Plück er ausführlich zeigt 3), durch
geeignete Wahl des Koordinatensystems die Hälfte der
1) Neue Geometrie des Raumes gegr. auf. - Leipzig 1868.
2) 0. Staude, Analyt. Germ. d. Punktepaares usw. ~ 86, 4.
3) Plücker N. G., S. 121.