Théorie et applications des équipollences, par C. A. Laisant.

EXERCICES.23

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EXERCICES SUR LE CHAPITRE VII.
'I. Une parabole se de'place parall~lement h elle-me'me, de
mani~re cjue Son sommet d~crive la courbe dans sa position iniLiale. Chercher le lieu des pdles d'une droite fixe.
L'6quipollence de la parabole, en prenant le paramdtre pour uuit6
de longueur, peut s'6crire: 1 =t2 --- ti. Le point C, ofi la tangente
est paraillie ht la droite fixe, est dounn par a2 ~4 a i, Si 2 a est la cotangente de linelinaison de eette droite. La parabole 6tant venue
dans une position quelconque, on n'aura qu'iA voir ce qu'est deveuu
le point C, A mener non paraib~le is laxe juLsquis la- reneontre de la
droite et is prendre le symistrique de lintersection par rapport As C;
c'est-is-dire qu'on aura
t2- ti- a2 -_- a i-i-V u k-V ( (2a i)
On voit sans peine que le lieu est une parabole.
Si le sommet, au lieu de discrire ia parabole, discrivait une courbe
f (t) -V- i y( t), lisquipollence du lieu serait
X -- 2f (t) -2 a Y(t) - k- i[~t) ]
2. Lieu des foyers des paraboles passant par deux points
fixes et dont l'axe a une direction dounne.
Soient P, Q les, deux points, 0 le milieu de PQ et OX le diamistre
commun passant par 0 et que nous prenons pour origiue des inclinaisons. Une parabole quelconque coupant OX en C, on a (174)
CP =t2CAN-VF tCB3,
CA et CB 6tant dirigises suivant OX et OP. Done
t2 CA CO, t CB >, OP
et (175)
C B OP' OP' OP2
CF ~~~OF — OC-V - x - V
4 CA ~ -OC!, (4UC 4w
Le lieu est isyidemment une hyperbole, et lon reconnait sans peine
qu.'elle a pour foyers P, Q et pour l'une de ses asymptotes OX.
3. On donne deux cireonf~rences e't un rayon fixe AA', BB'
dans chacune d'elles. Ces rayons tournent W'angles 6gaux, soit