Involuties op rationale krommen ...

2 1

kegelsnede gaan (m. + n) raakl~7ncn aan de directiekromme F.
De -kiasse van F is bijgoevolg (m + ii)
Zoodra we er in slagen het aantal snijpunten van F met
de kegelsnede te bepalen, is de graad van de omhullende F7
bekend.
Stellen we ons even zoo' n snij punt P voor, dan is het
duidelijk dat nuit dat punt P twee samengevallen raaklijnen
aan de directiekromme moeten gaan, want P zal immers O6p
die direetiekrornme liggen.
Ret punt P is een vertakkingspunt wanneer van de toegevoeg~de punten er 1/zvee samenvallen bijv. P'- P". Maar
dan vallen de raaklijnen P P' en P P", die nit P vertrekken
aan F, ook samen, wat met zich meebrengyt dat zoo'n punt
P 6'p F ligt. Derhalve liggen al/c vertakkingspunten der
(in, n) op IF. Dat zijn er nit de beide stelsels (X) en (Y)
samen 2m (n -- i) +2n (m. i).
Ze liggyen vanzelf op de kegeisnede en wij zien dat de direetiekromme F en de keg-eisnede bezitten 2 M (n —i)+ 2n (m. - i
snijpunten.
Dit zijn nog niet alle snijpunten. I-et is denkbaar dat
een punt X samenvalt met een der toeg-evo egde punten Y.
Buiten het bedoelde punt X -_ Y liggen dan (in i) punten
X en (n- i) punten Y. Men kan daarom. nit dat punt
(m. + n- 2) raaklzij'nen aan F trekken. We vonden echter
voor de kiasse van F7 het getal (in + n), zoodat blijkt dat
de lijn die de samengevallen punten K en Y verbindt voor
Iwecc raaklijnen geldt. Die lijn is tevens raaklijn aan de
kegeisnede in het punt KX- Y. Ret blijkt ons hieruit dat
de kegeisnede en F elkaar in zoo'n punt KX- Y aanraken.
We hadden intusschen ook evengoed over een col~ncwl enlic
K Y kunnen spreken. Want dan hebben we zoo'n punt
Kdat met e&en der toegevoegde punten Y sainenvalt. De
directiekromme F en de kegeisnede hebben dan ook evenveel aain'akisl'Jztyjulen als er coineidenties der (in, n) bestaan,
dus (in + n). Zij vertegenwoordigen natuurlijk dubbel zooveel snijpunten. Ret totale aantal snijpunten tussehen de