Involuties op rationale krommen ...

II

~ 5. CONSTRUCTIES.
Zoodra op een kegeisnede twee paren Al, A2 'en B1, B2
gegeven zijn, is een 12 bepaald, d. w. z. dat we dan alle
paren kunnen vinden. Zoek slechts het snijpunt 1/ der
lijnen Al, A2 en B1, B2. ledere willekeurige lijn door ilTlzal
dan een ander paar der involutie bevatten. Dit punt Mi is
niets anders dan het reeds besprokene kiassepunt der ontaarde involutiekromme.
De cubisehe involutie is door twee drietallen (A) en (B)
bepaald. Hoe vinden we dan de overige drietallen?
Daartoe nemen we op de kegeisnede het punt P willekeurig
aan. De twee ontaarde kegeisneden (P Al, A2 A3) en (P B1,
B2B3) bepalen de vier grondpunten P, Q, R, S van een
bundel. Omdat nu e'e'n der basispunten ni. het punt P 6'p
de kegeisnede is gelegen, zullen de exemplaren van den
bundel eene 13 voortbrengen op de kegelsnede van uitgang.
De ontaarde kegeisnede (QS, PR) levert een 3e groep (C.)
Is nu op de kegeisnede eene eubisehe involutie gegeven
door de beide groepen (A) en (B) dan is het mogelijk het
drietal te bepalen waarvan e'e'n punt C3 vooruit aangewezen is.
De lijuen A2 A3 en B2B3 bepalen het punt S. Trek nu
C3 S dan snijdt deze lijn het punt P in. De reebte Q A1
en P B1 geven nu op B2 B3 en A2A3 de plaats der basispunten Q en R aan. Trek nog Q R en men vindt de punten
C1 en C2 die met het vooraf bepaalde punt C3 eene groep
vormen. Geef C3 telkens anderen standen, dan zijn op deze
wijs alle groepen der 13 te verkrijgen.
Men kan ook uit deze construetie zien dat de 13 door e'en
drietal (A) en twee paren B2, B3 en C1, C2 volkomen bepaald
is. Immers deze bepalen het punt Q. De lijn A1 Q geeft
't punt P. Het punt S wordt gevonden als het snijpunt van
A2A 3 en B2 B3, terwiji A2 A3 door C1 C2 in het vierde basispunt K wordt gesneden, xvaardoor de bundel weder bekend is.

Voor de biyiuaclra/isc/he invob/die geldt ongeveer dezelfde