Involuties op rationale krommen ...

7
De mogelijkheid bestaat dat de vergelijking (i) voor een
bepaalde waarde van x twee gelijke wortels bezit. In zoo'n
geval is hare afgeleide nul. Eliminatie van x tusschen vergelijking (i) en hare afgeleide zal eene vergelijking van den
graad 2 (p -- i) in x doen ontstaan d. w. z. (<Elke in'vointie
van den pen graad bezit 2 (p- i) dubbelpunten~>.
Neemt men op den drager der I1p twee nnlpnnten aan, dan
kan men de plaats van een punt bepalen door de verhonding
der afstanden tot die twee nulpunten en met. homogeene
coordinaten werken.
Dan is de I. algebraiseh voor te stellen door de vergelijking
Up (x1 X2) + A VP (X1 X2) =0.
De functies ii en v zijn nu van den pen graad in x, en X2.
Voor dubbelpunten der Ip moet nu gelden:
dui dv du + dv
dx1 +1j =0d dx +d x,
Eliminatie van A levert
du dv __dv dv
d xi d x2 d x dxi
Deze fnnctionaal determinant is van den graad 2 (p -I),
waarnit het bovengenoemden resnltaat weder blijkt.
Op soortgelijke wijze is te onderzoeken of de Ip drie- of
meervondige elementen bezit. Maar in 't algemeen zijn die
er niet.
Is er een p-vondig element en nemen wij dit tot nulpunt
van telling, dan is de Ip voor te stellen door
XP + A 0 (x) 0.
(x) ==functie van den pen graad in x.
Voor dubbelpunten is
P X" - + A k (x) O.
Eliminatie van A geeft de vergelijking:
XP O'(X) p xP' I( X)=o0.