Étude géométrique des transformations birationnelles et des courbes planes, par Henri Malet.

88 ~~~~~~~~CHAPITRE II.
Trois points singuliers auxquIels correspondent des droites, uine '
chiacun;
Trois droites singulie'res dont tons les points ont le me'me point homologue.
Enfin les points singuliers soiit dans chaque division les sommets dii
-triangle des droites singulie'res. Nous nommerons ces triangles les
trian ales singulier's de la transformation.
Triangles singuliers. -Nous avons de'j'a dispose, nos notations de
maniiere a re'ali-ser les correspondances suLiivantes
it avec U, v avec V, w' avec XV;
U'avec it', V avec v', WV'avec a"v.
De plus, nous noterons it l'intersection de V' et W', f, celle de U' et W',
a' celle de U' et V'. Il en re'sulte dans (P2) les coincidences P'a avec U,
i' a" avec V', itv avec W'. Au total
U coincide avec oem', Ui avcc Ca'w;
V....... it' (C' V. i \V
W...... a'W....... vc.
Soient alors Al une droite de (Pl), a et a' ses points corr6latifs dans (G)
et (G'). Lorsqn'un point ml1 d6crivant A1 pasea sa rencote ae '
ses homologues- dans les deux gerbes deviendront aad et a' a' donnant
pour intersection it' la conique C2 transfornehe de A2 passe donc par it'.
Elle passe de meme par c' et a". De la me'me manie~re, la conique S,
transforme'e d'une droite B2 passera par it, fc et a'. Nous donnerons aux
courbes qui, comme C2 et SP, se transforment en des droites, le nom de
courbes orthoge'nes et nons obtenons le re'sultat suivant
Les courbes orthoge'nes de chaque dicirsion plane soint les coniques passant
par les trois points sin guliers.
Si Al est une droite qluelconque definie par deux points a, et bl,
sa transformn'e est entiebrement de'finie par les deux homologues a2 et b2
et les trois points singuliers it', c,', a". Le faisceau ponctuel des droites
passant par le point a, se transforme en le faiscean des coniques passant
par a2 a"'W ".
Supposons maintenant que Al vienne 'a pa sser par it. La conique transform~e devra -renfermer tonte la droite. U, puisqu'elle est en entier
homologne de at. En eff et, elle est devenne rayon commun aux deux
gerbes de sommet a et a'/, ces points 6'tant venus l'un et I'autre se placer
sur elle. La conique, de'gene'ree, se compose, de U et d'une autre droite A2;