Étude géométrique des transformations birationnelles et des courbes planes, par Henri Malet.

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CHAPITRE 11.

nien~es 'a S':. notons at lintersection quii correspond 'a mx prise dans la
gerbe, b Celle qui correspond de mc'me h mny l'homologue de mn est ab.
Figr.4.
Y~~~F
b~1
Prs an l grb, nsetrnsoreritena''.Nos ndquros-lu
6' /
Prisrdansgla sigerbe, sen iu' trlu transformeratenae.Nu indiqseons plust
trouver 6galemeint r~alise'es les coincidences suivantes
I avec, jk J avec ik, K avec it'
Soit alors une -transformation de'finie par ce triang-le et tna qtiatrie'me
couple quelconque aA'. Supposons par exemple a sur I et soit h, le point
ge'ome'trique oi'i cette droite coupe A,. Lorsque a de'crira I, h parcourra
une division homographique de la sienne, mais dans laquelle ki et /'k
doivent se correspondre et qui est par suite une incobluton. IL en r~sult~e
que la transforme'e de h doit passer par a et que ces points sont eux auss].
des points indilfferents. L'homographie qui a d6fini i, j'et k est devenuie
une identite'.
Nous sommeIs parvenus 'a une transformation telle qu'une droite
quelconque a le Meme correspondant, envisagee comme droite de-la
gerbe plane on comme lieu de points de la division. La transform&e d'nn
point d'une droite passe par le correspondant de la droite. C'est la transformation re'ciproque. Elle n'est pas sans analogie avec la transformation
ponctuelle invointive.
Voyons ce qu'y devient la conique des points aligne's. Soient a un de ses
points, A sa transforme'e qui coupe de nouveau S en b. La transformee
de b doit passer par lui; elle passe de plus par a puis-que b appartient
a A.C Cest done la droite A elle-_Mene et a et b sont confondus. Autre