Étude géométrique des transformations birationnelles et des courbes planes, par Henri Malet.

TRMNSFORMATIONS SIMPLES DU PLAN.
Transformation corr6lative.- Les propositions qu'unit la loi
de dualite6 peuvent etre e'nonce'es lune an moyen de l'autre par nine
sorte de traduction, changeant point en droite, diiio-rit n eb
ponctuelle, etc., et re'ciproquement. MlVas elies peuvent auss etre de'duites directement l'une de l'autre par corre'lation', en utilisant la mise
en correspondance d'une division et d'uLne gerbe planes.
Ces deux ensembles sont, en effet, -Venons-nous dc rappeler, de menme
grandeur, susceptibles a priori de correspondanie cc uivoque. Supposons
done que nous sachions faire correspondre ~4 un point a de la di-vision (P)
nne'droite A de la gerbe (G.) et, par les M emes constructions en Sens
inverse, a la droite A le point a.
Lorscque a de'crira une droite dans (P), A enveloppera en ge'neral uine
courbe. Si cette courbe se re'duit a' un point, nous avons vu (cf. Introduction )que nous pouvons par la M eme transformation passer d'un
point de (G) 'a une droite de la gerbe (1?):'c est la transformation corr~lativ'ce ordinaire.
Des raisonnements tout 'a fait analogues 'a ceux que nous avons faits
pour lFhomographie plane montrent qu entre une division et une gerbe
planes, il est toujours possible de r~aliser une correspondance corre'ative, qui est entie'rement d6finie par la donn&' de quatre couples homologue's
aA, bB, cC, dD,
car il est bien clair que le rapport anharmioniqie, de quatre points d'une
droite e~t 6,gal 'a celui des quatre droites horuologues.
Une transformation correlative fait correspondre 'a une courbe (lieuL
de points) une courbe (enveloppe de tangentes) dont la classe est e'gale
an degrY de la premie're. Elle transforme Line conique en une conique,
puisque ces courbes sont 'a la fois toutes celles de degri6 2 et de classe 2.
Transformation corr6lative avec base commune. - Supposons que
la division (P) et la gerbe plane (G) mises en correspondance corr&'lative aient le Meme plan de base. Pour la commodite' du discours, nous
noterons les points par des lettres minuscules, les droites par des lettres
majuscules non accentu~es dans la division (le point y e'tant e'lement et
la droite colligeant) et accentue'es dans la gerbe (situation inverse)
A est une droite lieu de points et passe par a, A' est la me'me droitel,
rayon de la gerbe a'.
Soient donc M' une droite de la gerbe plane, in son correspondant.
Un point nt' de M', c'est-at-dire une gerbe ponctuelle de G, se transforme
en une droite N de P qui passe par mn. Mais la me'me droite ge'om6 -A IA LET