Étude géométrique des transformations birationnelles et des courbes planes, par Henri Malet.

So

So ~~~~~~~~CHAPITLRE It.

TRANSFORMATION CORRE_'LATINVE.
Une gerbe plane est cons tituee par une double infinite~ de droites qui
peuvent C-tre collige'es en gerbes ponctuelles d'une double infinite'i de
fa~ons, de me'me cqne la di-vision plane comprend une double infinit6 de
points pouvant former une infin~iteb double de droites.
Homographie de gerbes planes. Des raisonnements calque's suir
ceux des pages prece'dentes montreraient que l'on pent b'tablir entre
deux gerbes planes une correspondance univoque telle qu'a' une gerbe
ponctuelle de l'une corresponde une gerbe ponctuelle de l'autre, c'esta-dire tine veritable homographic de gerbes planes.
Toute propriebte de figures ponctuelles homograpbiques aura son
pendant dans cette nouvelle transformation en conside'rant une figyure
composee par des droites de la me~me fa~on que la premiebre par des
points. C'est dans 1'e'nonce' de ce paralle'lisnie que consiste la lo!" de,
ditalite' de CHASLE S.
Deux gerbes planes bomographiques de Meme base out, comme deux
divisions, trois eblements doubles, qui sont cette fois des droites doubles
les sommets de leur triangle sont des points auto genes.
Mais il faut remarquer que les points 'a l'infini, singuliers dans la division plane, n'ont pas leur 'equivalent dans la gerbe qui, elle, n'a qu'un
eblement singulier isol6 (la droite de l'in~fini). Le parallelisme ne se maintient done qu'a' la condition dans la division plane de ne pas diffherencier
les points 'a l'infiini, c'est-h-dire de ne consid~rer que des proprietbes que
nous avons appele'es pro/ectic)es.
De me'me, tandis que le plan coruplexe intro duit seulement deux points
imagin~aires singuliers isole's:les points cycliques, la gerbe plane cornplexe renferme une double infinite de droites singulie'res: les droites isotropes. Tandis que toute droite, coilligeant de la division, a un 616ment
singulier rebel (son point 'a 1'infini), la gerbe ponctuelle a deux 'elements
singuliers imaginaires (ses deux droites isotropes).
Un parallelisme analogue pourrait etre &'abli avec les propositions
resultant de la misc en correspondance de deux ensembles quelconques
de deuxiebme grandeur comportant une double infiniteb de colligeants
determinbs par la donne'e de deux 'elments, pourvu que ces ensembles
ne comportent pas d'e'1ments singuliers on que ceux-ci ne soicut pas
diIffi6rencie's(1

(1) Voir sur cette question: (iM6moire sur les 616rncnts et lcs notions g~ome'triqucs )
k(Journal de l'1i~cole Polytechnique, 2e s6rie, cahier ~20).