Étude géométrique des transformations birationnelles et des courbes planes, par Henri Malet.

TRANSFORMATIONS SIMPLES DU PLAN.

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c' est-ah-dire d'nn Cone proprement dit, an senls de la Ge'ome'trie Me"mentaire. De lah le nom de sections coniques donnea 'a ces courbes.
CIIASLES (1) a montre' directement l'identite' des sectLions du Cone avec
les courbes de'fi~nies par les Anciens Sons les noms d'ellipse, hyperbole et
parabole, au moyen des propriebtes des foyers.
Homographie de plans complexes. - De Meme que l'homographiec
de droites, l'homographie e'tablie. entre deux plans re'els re'alise du meme
coup une correspondance univoque entre leurs 6lbments imaginaires.
Cette correspondance est de quatrie~me grandeur.
On pent aussi envisager des homographies planes telles cque certalms
eblements rebels d'nne division aient pour homolognes des 6hlnients imagYinaires de l'autre. Tons nos raisonnernents continuent a s'appliquer.
On voit facilement qUunne homographie, qui ne fait pas correspondre
exciusivement des couples re'els, admet an plus trois couples rebels homologues, on nne droite de couples re'els et un couple en dehors.
M.1ais il pent se rencontrer des ensembles homolognes rebels, bien qne
composes de couples mixtes. C'est ainsi que, si AA' et BB' sont deux
couples rebels, les droites AB et A'B sont e'videmment homolognes; mais,
ai l'exception de AA' et BB', 'a tout point rebel de l'une correspondra un
point imaginaire de l'autre. De me'me pour des coniques.
Emploi dans les constructions g6om~triques. - L'emploi de transformations homographiqnes planes, et particnlib'rement d'homologies,
est d'nne aide fe'conde pour la rebalisation de nombreuses constructions
geom'triques dans lesquelles interviennent des coniques.
C'est ainsi que, e'tant donne' 'a construire une conique devant passer
par cinq points ABCDE, ilpurra -etre int'ressant de reconrir 'a l'emploi
d'nne circonfe'rence homologique. Pour cela, on commencera par constrnire la tangente At en A an moyen du theborebme de Pascal, puis on
tracera une circonfe'rence quelconque passant par A et admettant la
tangente. At. On sait que cette circonfebrence et la conique propose'e sont
homologiques:soient alors bed les rencontres avec le cercle auxiliaire
des droites AD, AC, AD. Les points de rencontre de BC et be, BD et bd
font connaitre la droite de points doubles (qui coupe le cercle aux points
d'intersection avec la conique). Ceci fait, toutes questions de construc

(1) Michel CHASLES, ce'16bre g~om~tre frangais, n6 h E~pernon en 1793, mort 'a Paris
en i88o. Profeiscur de g~od~sie et de me'eanique Ai lEcole Polytechnique, Membre de
1' Institut.