Étude géométrique des transformations birationnelles et des courbes planes, par Henri Malet.

TRANSFORMATIO7NS SIMPLES DU PLAN.

Toute branehe de courbe passant par (to donne une branche passant
par le me~me. point et tangente 'a la premie're.
F~ig. 3 4.
D
Une courbe ne peut e~tre transforme'e en elle-Me~me par une homologie
que' si celle-ci est involutive ou, plus ge'n6ral~ement, polygonale. Cela
suppose, Ai est clair qu'une courbe autoge'ne
iO En tout point de rencontre avec l'axe aura pour tangente le rayon
venant de to, ou bien D dans le cas seulement d'un point de rebrousseinent on de deux points doubles confondus et 'a tangentes confondues
(equivalant 'a deux points de rebroussement);20 Coupera tonte droite passant par to, en dehors de lni, en un nombre
de points multiple de l'ordre polygonal de l'homologie, en un nombre
pair dans le cas d'une homologie harmonique;
30 Ne pourra posse'der to qu'ah titre de point meplat, de point
d'inflexion dans une homologie harmonique.
En particulier, une homologie, comme tonte homographie, transforme
une conique en une antre conique et il est clair que deux des points
d'intersection des deux courbes appartiennent a l'axe, les deux antres
6tant sur un rayon e'mane' de to). De plus, les deux tangentes mene'es
de o 'a l'une doivent etre tangentes aussi a 'Tautre.
UIne cubique ne peut e'tre transforme'e en elle-me'me par homologie
que si le point de vue est point d'inflexion. De. celni-ci, ii peut e'tre mene'
ai la courbe trois tangentes:leurs pieds sont les intersections avec l'axe
d'homologie. Nous retrouverons cette proposition an Chapitre III.
Examinons si deux coniques quelconques d'nn meme plan sont homologiques, c'est-a'-dire homolognes dans nne certaine homologie "a de'terMiner.