Étude géométrique des transformations birationnelles et des courbes planes, par Henri Malet.

TRANSFORM~ATIONS SIMPLES DU PLAN. 7

7 I

Deux figures homologiques se pre'sentent comme les sections par
un meme plan P de denx- cones, de sommets HI et K, de'imite's
par une meme conarbe (lien de a,) sitne'e dans le plan Q. Snpposons un
instant K renvoy' 'a l'infini dans la direction perpendiculaire an plan
bisecteur dn die'dre PQ. Tonte fignre dn plan Q deviendra e'gale 'a sa
-projection par K et snsceptible d'etre amene'e 'a co~ncider avec elle par
une rotation antLonr de D. On voit qne denx fignres homologiqnes sont
telles qne, par nne rotation convenable de l'nne antonr de l'axe, on pnisse
les placer stir nn me~me Cone.
Comme cas particnlier, si la droite de points donbles est la droite de
l'infinli, denx droites correspondantes qnelconqnes sont paralle'es, la
correspondance prend le nom d'homothe'tte.
Snpposons qne, dans nne transformation homographiqne plane, ii
existe nn conple syme'triqne, c'est-a'-dire tel qn'nn point oc ait emme
correspondant P, pris dans l'nne on l'antre division. Nons allons montrer
qne l'homographie est ne'cessairement nne homologie. En effet, donblons
la transformation, c'est-a'-dire attribnons 'a nn point a,. de P1, qni. a ponr
homologne a2 dans P2, 1'.homologne b2 dn point b, qni coincide ge'ome&
triqnement avec a2. La transformation obtenne admettra oc et P ponr
points donbles, et anssi les trois points donbles de la transformation
P1 P2. Elle est donc ne'cessairement nne identite, cc qni montre qne tons
les conples homolognes etaient syme'triqnes.
Cela pose', snpposons ladite transformation de'finie par denx conples
syme'triqnes oc4 et y~, on si l'on vent par les qnatre conples
Les droites op et y~ se correspondent 'a elles-me'mes; elles sont autoge~nes. Le point to qni est snr les denx est nn point donble. Denx points
homolognes de oc( d~oivent de'crire nne involntion dont les points donbles
sont to et son conjngn6 harmoniqne m par rapport 'a ocp. De la me'me
fagon, co conjngne' de (o par rapport 'a yo~ est un point donble et la droite mc
est elie anssi antoge'ne (fig. 33).
Mais cette droite mc n'est antre qne la polaire de (o par rapport 'a
l'angle u et elle doit passer par ut et par ic. Le transform6' de tt,.intersection de cx~ et P3y, est l'intersection de py et de oc~ et coincide avec lni.
C'est donc anssi nn point donble et la droite mu? qni posse'de trois
points donbles, est non senlement une droite autoge'ne, mais une droite
de points doubles.
La transformation dn plan, analogne 'a l'involntio'n sur une droite,
est donc bien nne homologie, avec cette circonstLance particnliebre qne