Étude géométrique des transformations birationnelles et des courbes planes, par Henri Malet.

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CHAPITRE 11.

Une transformation homographique transforme une courbe en une
courbe, une tangente en la tangente 'a la transforme'e, une division droite
on conique en nne division homographique, 6'galement droite on conique, etc. et en ge'neral conserve dans les figures que l'on transfornme
toutes les proprie'tes provenant de points confondus on aligne's on de
relations projectives.
Deux coniques quelconques S et S' peuvent tonjonrs etre mises en
correspondance homographiq'ue, comme cas particnlier d'une homographic plan e, d'une infinite' de manie'res:il suffit de prendre snr elies
des points a, b, c, d et a', b', c', d' tels que
(abcd) =(a'b'cd').
La t~ransformebe de 5, obligebe 'a passer par qnatre points a', b', c', d' et,
ai leur attribuer un rapport anharmonique d'etermine, est, comme nous
savons, entiebrement de'finie et coincide avec 5'.
Les transformations homographiques planes forment un groupe.
Homographie avec plan commun. - La re'alisation de la correspondance n 'est en rien modific'e par le fait qne les denx plans de base
coincident. Cherchons s'iI existe des points doubles, c'est-a'-dire confondus gebomebtriquement avec l~eur homologue.
Soient am et a'm' deux droites correspondantes, bm et b'm' denx
autres. Si mn est nn point-double, mn et in' viennent se confondre, et les
points at et P avec enx. Or, am et a'n' de'crivent denx faisceaux homographiques, le lien de it est une coniqne passant par a et a'. De Meme,
Fig. 3 o.
le lieu de v' est une coniqne passant par b et b'. S'il y a des points doubles,
uls seront 'a lintersection de ces deux coniques. Celles-ci passent toutes