Étude géométrique des transformations birationnelles et des courbes planes, par Henri Malet.

CHAPITRE. II.
TRANSFORMATIONS SIMPLES DU PLAN.
Les ensembles gebomebtriques les plus simples de deuxiebme grandeur
sont le plan ponctttel on dic(,ision plane, ensemble de points, et le plan
tan gentiel on gerbe plane, ens-emble de droites.
Les correspondances univoques qui peuvent etre b'tahlies entre -deux
divisions planes conduise nt aux transformations birationnelles planes;
dans ces correspondances, par deflnition, 'a tout point de 1'une des divisions correspond un point et un seul de l'autre. Lorsqu'un des points
de'crit une droite dans son plan, son correspondant de'crit dans l'au'tre
plan une courbe a priori quelconque. Le cas le plus simple que n ous e'tudierons tout de suite est celui oii cette courbe est aussi une droite; c'est
le cas bien connu de l'homnograplde plane.
Homographie plane. -L'homographie n'est plus comme pour les
divisions linb'aires la seule transformation birationnelle possible:elle
est seulement la plus simple.
Soient P1 et P2 deux divisions plan~es homographiques, a, et a2 deux
points correspondants. A toute droite A,. passant par a,. correspond une
droite A2 passant par a2 et une seule. Al et A2 de'crivent deux faisceaux
homographiques et le rapport anharmoniqufe de qua'tre droites A quelconques est e'gal 'a celui des transformebes.
Soient alors a, a2, b,_ b2, C1. C2, di d2 quatre couples de points correspondants, et rnl un cinquiebme point. On devra avoir, appelant a2 c -la droite
transforme'e de al in,,
a, (biecldi m,) =a2 (b2C2 d2 X).
Ceci montre que nous savons construire a2 X. Nous pouvons -de Meme
construire b2 Y transformb'e de b, in,. L'intersection de a2 x et b2 Y nous
donnera le transf ormeb in2.
1I rebsulte de cette construction que la transformation propose'e est
possible, rebalisable avec la seule rebgle -et entiebrement dbterminbe par la
donnb'e de quatre, couples de points homologues quelconques.