Étude géométrique des transformations birationnelles et des courbes planes, par Henri Malet.

T1RANSFO0RM~ATIONS DE PIREMIE~RE GRIANDEUR li.
passaint pa deux des points d~termninant le faisceau:il reste en effet
seulemenet deux points variables d'intersectiorn; la droite qui les joint
passe par un point fixe. Si l'on envisageait deux coniques distinctes
passant par les trois points A'B'C', les coniques du faisccau les couperaient chacune en un quatrieu'me point unique et les deux divisions
de'crites seraient homographiques, etc.
Soicut A un point fixe, D et D' ses polaires par rapport 'a deux coniqucs
d'un faisceau, A' leur point de rencontre: A et A', con jugue's par. rapport
a deux couples d'intersection sur la droite AA', sont les points doubles
de l'involution trac~e, et par suite sont, conjugues a toutes les autres
coniques du faisceau. La p'olaire d'un point par rapport aux coniqucs
d'u-n /aisceaut ponctuel tourne autour Waun point fixe.
Supposons que le cinquie'mc point donn6 -pour determiner une coniquc
dii faisceau ABCD soit en ligne droite avec A et B par exemple; la
conique dans cc cas de'gene're ct sc re'sout en deux droites AD et CD. On
voit qjuo le faisceau comportc trois conlic~ues qui sont des couples de
droites:ADB'et CD, AC ct BD), AD et BC; cc sont les c0tes opposes et
diagyonales du quadrilate're, coniplet de'fini par les quatre points. Les deux
autres somi-nets E et F et le point de concours des diagonales H- sont'
conjugue's harmoniques deux 'a deux par rapport aux conicjues de'g&'
n~r~es, par suite hi tou~tes les conicues dii faisceau. Ccci montre que le
triangle EFF1 a ses c~tes et sommets oppose's p(le et polaire par rapport
a toutes ics coniques dii faisceau; on' dit qu'il leur est 'a toutes harmnon'ique.
Ainsi, Si deux coniques d'un fa-isceau ponctuel out Mmoms axes Ox
et Qy, le -triangle forme6 par ces deux droites et la droite. de l'infini est
le triangle liarmoniquec, ct toutes les autres coniques du fai~sceau out
aussi pour axes Ox, ct Oy.
Si deux des poin~ts de'finissant un faisccau ponctuel de coniques sont
les points cycliques, le faisccau est constitud' uniqjucrncnt par des circonf erences.
Le the'ore'me de Desargues fournit un rnoycn dc r~aliser une involution sur une droite, en ]a consid6rant conime trace'c par un faisccau
ponctuel de coniques. Soicut, en dfet, sur une droite A, AD et CD deux
couples de'finissarmt nuc involution. Prenons trois points arbitraires MNP;
les deux coniques MNPAB et MNPCD se coup~ent en un cquatrie'me
point Q et le faisceau de'fini par MNPQ trace sur A l'involution proposee.
Cc proce'dc devient extremiemcnt. int(ercssant si l'on choisit pour deuix
des points MNP les points cycliques, c'est-a'-dire si I'on constitue le