Étude géométrique des transformations birationnelles et des courbes planes, par Henri Malet.

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58 ~~~~~~~~CHAPITRE I.

FAISCEAUX PONCTUJELS ETr TANGENTIELS I)E CONIQUES,
Nous avons e'tabli que deux coniques quelconques ont en commun
quatre points. Inversement, 6tant donne's quatre points A'B' C' D', par
eux passeront une infinite de coniques, puisque l-a don~nee d'un cinquie're point arbitraire du plan en de'finira avec eux une et une seutle.
Leur ensemble constitue ce que l'on noinme un futisceaut pontel de
eonqtes.
Soit S une conicjue passant par ABCD. En A, elle a une tangente AT
de'finie par A et le point infiniment voisin A'. MaisI inversement, la
donne'e de A', c'est-ah-dire de la direction de tanoente AT, de'finit une
seule des coniques envisage'es. On voit qu'il y a correspondance urnvocine entre ces courbes et leurs tanoTentes en,- l'un des points fixes A.
Les coniques d'un. faisceau ponctuel sont done, comme les droites pasSant par A,-Lune simple in/fnite. Les droites de la gerbe ponctuelle A,
envwisagees de leur eote soUs l' aspect d'ensemble de droites dont la de'terinunation Se complU,.tUe par Lun point, sont appele'es Jaisceau ponctutel, de
dr~o'ies.
On conclut du raisonnernent, precedent que les tangentes aux courbes
d'un faisceau en A et B par exenmple, e'tant en correspondance univoque
chacune avec lesdites courbes, d~ecrivent deux faisceaux homographiques, et que par suite le lieu de leurs intersections est une conique
passant par A et B.
Soient A une droite queleoncjue, M un cle ses p-'oints. Si A'B'C'D' de'finissent unt faisceau de conicjues, urne seutle de ces courbes passera par M cL.
cue coupera A en un autre point unique M'. D'aut~re part, la conique dUi
faisceau passant par Al' cofincide avec la precedente - it y a done entre
les deux intersections de la droite A par une c'oiique variable du faisceau une correspondance univoque et syme'trique. Cette pro-position
est connue sons le nom de the'oreine de Desargues (1) et s'e'nonce
Les coniques d'un /a-isceatt ponctuel trctcent sur une droite qutelconqute
deux dif'isions en involution.
Le Meme raisonnement montre qu'il y a encore involution entre les
divisions trace'es par un faiscean ponctuel de coniques Sur une conique

(1-) DESARGUES, g~om~tre fran~ais, n6 h Lyon en i1593, mort en i 662, contenmporain
et ami des Descartes. Fut emmene' par Richelieu en qualitO d'ing~nicur au sie'ge de
La Rochellc.