Étude géométrique des transformations birationnelles et des courbes planes, par Henri Malet.

56 CHAPITRE I.
complet qui montre que fin1 in2~ doit couper 01 02 au point P conjugue
harmornique par rapport 'a 01 et 02 de l'intersection avec la droite D.
Ce point est fixe ii1 est le po'le -de D. Les droites 01 0,, et D qui passent
par'le pal'e l'une de l'autre sont dites droites con/uagnees par rapport 'a la
conique.
Le raisonnement1- cui pr'ce'de nous conduit 'a la proposition suivante
quis'abli-rait d'ailleurs directemenit, et qui donne un rnoyen de r'alisa
lion imme'diat de l'involution suir les coniques
Les droites joignant les points correspondantns d'utne inp'olution simi iine
conqtque pacssenlt par un, point fixe.
Supposons que dans les deux gerbes ponctuelles 01 et 02 choisi-es,
O1 02 ne se corresponde plus 'a lI-neme; les deux gerbes de'finissent
iine conique 5, qui a d'abord en conunun avec, la conique propose~e S les
points 01 et O.. De plus, les deux gerbes ponctuelles' de'finissent Sur S
iine hornographie dont les deux points doubles Q et II appartiennent
e~videmment 'a 5'. Done, S et 5' et en ge'neral deux coniques qttelcorittes
ont qucttre points comrnuns.
Conside'rons une hornographie Sur une conique. Cberchons l'enveloppe
des droites ioignant deux points homologues Ml et M,.. Soit A un point
quelconque du plan:voyons corubien par lui passcnt dc droites M-11 M2.
Joignons AM,.. Cette droite coupe la conique en uin deuxienme point M'
qui de'crit avec M1 uine involution. MIF et M,. de'crivent deux divisions
homogyraphiques, qui out deux points doubles. On en de'duit deuix
droites M1 M., passant par* A.
La gYerbe des droites Ml. M., est donc telle que par touLt p oint du plan
ii en passe deuix: cule estde seconde classe. L'enveloppe de la droite M, M2
est une conique qui a, aux points doubles de Il'homograplhie, nmhrne tanlgcnte que la conique propos~e, c'est-a'-dire qui lui est bitangente. Si ces
points doubles sont choisis aux points cycliques, les deiux coniques
deviennent deux circonfe'rences concentrique s, puisque bitangentes.
La droite M1- M2 sous-tend dans cc cas un arc de la circonfkrence exte&
rieure de grandeur constante. Joignant ses extremitits a. un point fixe de
la nmenme circornference, deux rayons homologues de l'homogfraiphie
obtenue feront un angle constant. Nous retrouvons (Inc le rapport
anharmo-nique de deux droi-tes et des isotropes passant par leur point de
concours pen etre represents' par leur angle ou par une fonction de
celui-ci. Si. le rapport est harmonique, l'angle est droit.
La~ reciproque de la proposition pre'c~dente donne la solution du problenme nimener une conique bitangente a une conique donne'e et tan