Étude géométrique des transformations birationnelles et des courbes planes, par Henri Malet.

54 ~~~~~~~~CIIAPITHE I.
Une conique pent done e"Ire conside'ree comnme onveloppo d'une droite
joignant deux divisions honmographiques, dont les droites do base lui
sont tangentos. Les courbes enveloppes de'finies tont 'a lheure sont done
les Mmems que les coniques etudie'es dej" L'ensemble des droites MVN qui
los de'orit cetto fois constitue un ensemble tangentiel que nous appellorons -gerbe coniqtte.
L'homographie de deux divisions 6tant dbfinio par trois couiples do
points, homologues, une gerbe conique l'est par la connaissance des deux
droites do base 'et de trois droites de l'ensernble:une conique est de'termineo par cinq tangentes. Nous montrerions comme pins haut quo cos
cinq tangontes e ( jouent le mineo r'le dans la dbtermination; los connaissant, nones saurons en construire uno Sixiebme passant par un point quo1 -conque choisi sur une des preniibres, et nouis serons -conduits pour la
realiser 'a une construction qui so confond avec cello connue en Gxbombtrie e'lementairo sons le nom do the'ore'ine do Brianchon (I).
L;Introduction des eblements imagillaires permet do dire quo touto
homnographie do gerbos ponctuollos do illIflOn somnmet a deux rayons
doubles, quoe d'un point quelconque on pout moner doux tangontes 'a
uine coniqiae, propribteb quo nous avons dbjai rencontre'o et exprimeo en
disant que la gerbe conique est do deuxi$'ine classe.
Homographie sur les coniques. -Nous avons vu quo si l'on joint
deux points quolconquos O,. et 02 d'uno conique, connue 'aitin point
mobile M, on obtient deux gerbes bionographiques:c'ost la rebciproqueo
do la definition do ces couirbes.
Mais ii est naturel d'envisager la correspondance qui s'b'tablit an
passage ontre le point M uI-mm C et le rayon' 01M. Elle est. visiblemoint univoqu~e. L'o nsemble dos points d'une conique, c'est-a'-dire uno
division conique, pout done etre mis on correspondance univoque avec los
rayons d'uno gerbe ponctuelle, et, partant do, Ila, avec los points d'une
droito on ceux d'une autro division conique. Do plus, on voit quo la
donne'e do quatro points do la division pe'rmot do de'hnir une quantito
li~o ai leur position relative, C'ost-a'-dire un rapport anharmonique quo
nous prendrons b'gal ~L celni dos quatre rayons homnologues d'un faisceau
quelconque en correspondance. Doe mrnle, los droites d'une gerbe conique sont on correspondance univoque avec leurs points do contact.
On pout done de'finir un point d'une division conique comme un point

(1) BRIANCHON, officior d'artillerie et ing6niour, n6 ai S~vros on 1755, mort ai
Versailles crn i864j.