Étude géométrique des transformations birationnelles et des courbes planes, par Henri Malet.

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CHAPITRE I -

gentes et deux seulement. On dit pour cela que les conicques sont des
courbes de deuxi(.i~nte classe.
Lorsqu'une conique est donnee par cinq points,- la. polaire d'un point
quelconque par rapport 'a elle se construit avec la seule re'ole. En efflet,
soient P le point donnea, a 1'un de ceux qui~determinent la conique. Sur
la droite Pa se trouve un deu'xi("me point a' dont la construction se
fait avec la reiole seule (the'ore'me de Pascal); it en est de ineme dn conjugue' harmonique de P par rapport 'a.aa'. Deux semblables operations
font obtenir deux points de la polaire, et par suite cette droite ellememe.
Si un point P est situe' sur la polaire d'un point H, sa polaire passe
par H-. Les points P et H sont dits con/nugues par rapport &" la conique.
Eloignons H 'a l'infini.: les droites deviennent paralid'es, et le conjugue, P
devient le milieu du segment limite, par les intersections. De Ia'
Le lieu des miniieux des cordes d'une conique paralle'les 'a une direction
est une droite appele'e s diame're con/u gue' de la direction donn~e'e).
Deux diame'tres, qui sont les polaires de deux points 'a l'infini, se
coupent en un point qui est le p Ole de la droite de l'infini; on l'appelle
le centre de la conique.
Conside'rons deux diame'tres conjugu~es Ox et Oy dans une conique de
centre 0. Il y a manif estement entre eux une correspondance involutive.
Celle-ci admet deux rayons doubles qui sont les tangentcs men~es du
centre 'a la conique et dont les points de contact sont 'a l'infini; on les
appelle les asymptotes de la courbe. Elles peuvent etre re'elles (hyperbole),
imaginaires (ellipse) on confondues:elles le sont alors avec *la droite de
1'infini, devenue tangente; c'est le cas de' la parabole.
Enfin, l'in'Volution des diame~tres conjugue's posse'de deux rayons
rectang~ulaires. Chacun d'eux est le lieu des milieux des cordes qui lui
sont perpendiculaires:il est un axe de syme'trie pour la courbe. On
appelle ces deux diamet~res les axes de la conique. Leur construction,
comme rayons doubles d'une involution, se fait avec la re~gle et le
compas.
A titre d'application, supposons demanders les axes d'une conique d~finie par cinq
points a, b, c, d, e. E~num~rons la succession des operations 'a effectuer.
Consid6rant d'abord une corde, ab par exenmple, nous mbnerons la parallble cx At ab
et nous construirons par le theborbmc de Pascal le deu~xibme point d'intersection c'.
Les miilieux de ab et cc' joints nous donneront le diambtre conjngu6 de la direction ab.
Pareillement, menant cy parallble it de, nons' dbterminerons son deuxierne point
d'intersection c". La droite joignant les milieux de de et cc" sera le diamrnbr conjugue' de la direction de.
Les deux diamn~res se coupent en un point 0 qui est le centre de la conique.