Étude géométrique des transformations birationnelles et des courbes planes, par Henri Malet.

TRANSFORMATIONS DE PREMIRE GRANDEUR.

Al 7

Prob~ine. - IRtant donne's un point re'el A et deux points imaginaires
conjugues a et b (droite-support D, foyer H), construire (par leur foyer)
los points d'intersection des droites A a, A. b avec une nouvelle
droite D'.
Ii suflira de projeter de A sur D' deux couples de'finissant l'involution Ab ces couples e'tant- obtenus comme vus orthogonalement de H.
Fig. 20.
H
Prenons d'abord le couple PP' qui lions fait obtenir le couple PP".
De plus, soit Q le_ point oft la paraillee 'a D' par A coupe D. Le couple QQ'
devient sur D' le couple oo 0' cc qui montre que la perpendiculairo
aI D' enf 0 e st la ligne des foyers:ils sont 'a son intersection avec la
circonfe~rence de diamie'tre PP" (fig-. 20).
Points cycliques. - Nous avons e'e conduits 'a faire jouer un rlo"I
auxiliaire tre's important dans la determination des points imaginaires
aux involutions de gerbes panorthiques, et par suite 'a l'involution de
points qu'elles tracent tontes sur la droite do Il'infini. Celle-ci se pre'sente donc comme une figure singulie're du plan; elle est de'finie par
exemple par ses points doubles qui, n'e'tant pas re'els, sont deux points
imaginaires conjugues remarquables quo nous noterons i et /. On les
appelIle les points cycliqutes du plan.
Ainsi done, sur la droite do l'infini, dont les points sont diffi'rencie's des
autres points du plan an moyen d'un instrument comme 'I'equerre -permettant la constructio n ae paralle'les, on doit distinguer encore deux
points imaginaires remarquables dont la diffe'renciation se fait an mov\endu compas.
Nons smmes prvenu.iinvolution panorthique par la consideration
de gerbes forme'es do couples rectangulaires. Mais en senls inverse, dora'