Étude géométrique des transformations birationnelles et des courbes planes, par Henri Malet.

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CHAPITRE 1.

Reste le cas de deux points imaginaires (juelconques a et a'. Soient b
et b' leurs conjugues, D et D' les droites-supports. Nous avons vut (p. 4i)
que les involutions de'finissant ab et a'b sont, projectives d'un sommet
reel A. Les droites. aa' et bb' sont e'videmment les rayons doubles de
l'involution des gerbes projetantes. (L'autre sommet de-projection correspondrait aux droites ab' et ba.) Une droite aa' est done Une droite
imaginaire unique et bien determin~e' et nous savons cons truire son
point re~el.
Enfin, si Aa et A'a sont deux droites imaginaires quelconques, je dis,
qu'elles ont uin point commun. Soient D et D' les droites-supports de a
etbet b' sur chacune les conjugues respectifs de ces points; les gerbes
involutives de sommets A et A' ayant pour rayons doubles A a et A b,
A' a' et A' b coupent deux droites re'elles suivant la me'me involution
(P. 42). L'une d'elles est la droite-support dui point de rencontre de Aa
et A'a.
Droites et points imaginaires ont done acquis les me~mes proprket~is,
an point de vue -logi~que, que les d'lements re'els, et nous ponvons raisonner sur les uns et les autres indistineteMent.Foyers des points imaginaires. -Deux lpoints imaginaires conjngne's, entite commode 'a faire intervenir dans le raisonnement, peuvent
e'tre figure's mrate'riellement de plnsieurs fagons
io Par deux couples de points homologues determinant l'involution.
qui les de'finit:
2)0 Par leur droite-support et un cercle ne la. coupant pas re'ellement;
30 Enfin an moyen de points que nons nommerons leurs foyers. Nous
avons vu en ellet qn'nne involution sans points doubles reels p 'euit toujours e~tre conside'ree comme la trace de deux faisceaux panorthiques
dont les sommets 1-I et 1I' (centres orthoptiques de l'involution) sont
syAriques par rapport h Ia base. La donne'e de ces points HI et H'
(on. celle de l'un d'enx et de la droite de base) e'quivaut 'a~ la donne'e de
I'involution, par suite determine ses points doubles, le couple imaginaire ab. Unr tel couple pourra done C're parfaitement de'fini et represente' re'llement par la donne-e des points H et I-' que nons nommerons
ses foyers.
On pent, effectuer snr les 'elments imaginaires tontes les construetions dont nous avons parke jnsqn'a' present. A titre d'exemple, re'solvons
lc probleme suivant anquel se rame'nent la plupart des coinstructions.