Étude géométrique des transformations birationnelles et des courbes planes, par Henri Malet.

TRIANSFORMATIONS DE PREMIERE GRANI)EUR.4
reelles. Le plain complexe, ensenible des Memes droites comple'tees de leurs
points imaginaires, contient encore une double infinite6 de points reels,
plus une infinite' quadruple de points irncg-inaires conju gues deux a' deztx.
En eff et, un point imaginaire, introduit par une droite D ne saurait
coucder avec uii autre introduit parundrieD;ideat ress
cela l'intersection de deux droites re'elles et celle-ci est un point reel.
Par un point imaginaire ne penit donc passer qu'une droite re'elle, celle
qui. contient aussi son conjugue, qui a permis de les de'finir et que nous
nornmerons leur droite-sup port.
Pour pouvoir raisonner dans le plan complexe comme dans le plan
reel, il est ne'cessaire de meubler le premier de nouvelles droi.tes introduites en e'tendant aux points- imagiinaires la definition que c/,deux points
quelconques du plan en d&eterminent une et une seule )). 11 faudra que
cbacjue droite ainsi d&Frinie soit al~ors, comnme les droites re'elles dans le
plan reel, conteinue tout entie're dans le plan complexe; ceci. s'obtiendra
par l'extension de l'axiome que ((deux droites quelconques du plan out
toujours un point coinmun ))et nous savons que la definition ci-dessus et
cet axiome sont les seules proprieties de la droite prises comme bases de
nos raisonnements.
Or, deux points imaginaires conjugu~s de'finissent une droite et uine
seule, que plus exactement leur donne'e presuppose:leur droite-support.
Il s'agit d'examiner le cas de droites proprement irnaginaires, qui pourront etre de'finies par un point re'el et un point imaginaire, on par deux
points imaginaires non conjugues. Soient d'abord un point re'el A et un
point imaginaire a, et suppoon cu'ils de'finissent une droite iunaginaire.
Le point a est donnea par sa droite-support D et une involution don~t ii
est un point double. Ceci ne va pas sans de'finir du me~me coup l'autre
point'double b imaginaire conjugue dle a, et par suite une deuxie'me
droite imaginaire A b qui sera dite con/u guee de la pre'cedente. Si
d'ailleurs nous joignons A 'a linvolution donne'e sur D, nous voyons que
A a et A b sont les rayons doubles d'une involution de gerbes. Les droites
imiaginaires s'introduisent done tout naturellement par couples dans la
gerbe plane coinme les points imaginaires dans la divisoion. Ces droites
ne posse'dent manifestement qu'un seul point re'el. Elles sont aussi dans
la gerbe plane une quadruple infinit&.
L'involution de gerbes A coupe une nouvelle droite D' suivant une
autre involution, et les points doubles de. celle-c'i sont h la f ois des points
du plan complexe et les intersections de D' avec A a et -A b. Les droites
imaginaires cjue nous avons de'finies rencontrent donc bien toute droite