Étude géométrique des transformations birationnelles et des courbes planes, par Henri Malet.

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CHAPITRE 1.

Mais ii ne faut pas oublier que nous adop-tons lii seulem-eut une nianiebrc
do parler commode, et quLe nous n'auronls le droit de raisonner sur ces
nouveaux points an meme titre que sur les points re'els qu'aprebs avoir
complete leur definition par de nouvelles conventions cjui leur attribueront des proprietbes convenables, entre eux et avec les points rebels,
pour satisfaire 'a toutes les lois logiq-ues de la Gbeomebtrie.
Soit donc sur nne d-roite D un point imiaginaire a; pour le debfinir, nous
avons duX conside'rer une involution de'finie par deux couples re'els. Celia
n' as t sans dbfinir du memc coup lautrc on obe bPgaemn
imaginaire, do ladite involution01. Ces points a et b de'finis simultanbment
sont dits imaginalires conf/u gue's. Le conjugueb harmoniquc par rapport
a eux do tout point rebel est 6galemient rbelcet s'obtient commie hom-ologue du premier dans l'involution do de'finitionl.
Un point im-aginlaire a ni'a qu'un seul. imiaginaire conj'uguu. En eflet,
supposons un instant qu'une certaine involution ait pour points doubles
deux points imaginaires a et b, et une autre los points a et b'. Dans la
premiere, un point A aurait pour homologue un point B, son conjugue6
harmonique par rapport 'a a et b, dans l'autre un point B' begalement. r6el.
Los points B et B' de'riraient, lorsque A variera-it, tine homogyraplhie
dont los points doubles, qui sont lc couple commun aux deux involutions, seraicnt con-fonidus en a (P. 41). Le point a serait -Alors le conjugue
harmoniciue do A par rapport 'a B et B' (p. 4o), cc qui est impossible
puisque cc conjugue' doi ctre re'el. C'est donc quo b et b' sont confondus
et quo a n'a qu'un soul. point irnaginaire conjugueb.
Il en rebsulte quo nous scrons in capables do construire on meme do.dbtern-minor sebpare'ment a on b. Le couple soul des imaginaires con~jugubs
nious est accessible et devra soul figurer pour qu' une proposition ait un
sons dans los, donnebes proposees ainsi. quo dans los re'sultats auxquels
nous parviendrons.
D'autrc part, il y aura sur une droite autant do couples imaginaires
conjuglubs quo d'invoiutions distinctes pr'ce'dcmment de'nommebes sans
points doubles, c'est-a'-dire une double infinite,, toutes cellos de'finies par
deux couples homologues quelconques dont los segments empiebtent l'un
Sun l'autre. Nous sommes done conduits 'a incorporor 'a ia droite rebolle
une double infinite do points imaginaires conjugue's deu:$ 'a deux. Nous
donnerons 'a la droite ainsi completec le nom. do droitel corn plexe.
L'cnsemble des droites complexes constituera le plane coniplexe.
Plan complexe. Droites imnaginaires. - Le plan rebel comporte une
infiniteb double do points re'els rebpartis sur une double infiniteb do droites