Étude géométrique des transformations birationnelles et des courbes planes, par Henri Malet.

TIIANSFORAMATIONS DE PREMIERME GRANDEU:R. 4

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lutions sans points doubles la propriete' d'etre projectives que nous
avoiis etablie plus haut pour deux. involutions 'a points doubles.
Soient en effet sur deux. droites D et D' deux involutions sans points
doubles, et cherchons si elles sont projectives. Soient S sur D et 5' sur D'
les homologues du point de rencontre P, AB et A'B' un autre couple de
chaque involution. Commie il nie doit pas y avoir de points doubles, ces.
seglments doivent chevaucher suir les segments PS et PS'.
Fig. i8.
P A S' B' D'
M
S'il existe un sommet'de projection pour les deux involutions, il doit
projeter S sur S', et se, trouver par consequent sur la droite qui les joint.
11 doit aussi pour une position convenable du. couple A'B' le projeter
sur AB. JToignons AA' et BB'. Ces droites coupent SS' en M. et N, et si,
laissant A et B fixes, nous faisons 'a A'B d6crire l'involution de D',
NI et N de'crivent des divisions projectives de celles de A' et B' et par
suite forment une homographie. On s'assure que celle-ci posse'de les
couples SS' et, 5' S et par suite est une involution.
Enfin, la disposition des couples AD et A'B' entraine que le segment MN ne pent chevaucher sur le segment SS' et que IlIinvolution
quIls deternmien tos deux a, nicessairement deux points doubles
ce sont, les deux sommets de projection cherch6s.
Achevons ces proprieties des involutions de droite en indiquant que
si deux involutions sont porte's par la Mieme base, elles out en comnmun
un couple homologue; celni-ci devan etre conjugue barmonique par
rapport aux lpoints doubles Q et RI de la premi.6re et aux points doubles Q
et R' de la. seconde est constitue' par les points doubles de l'involutionl
de'finie par QR et Q' R'. Commne cas particuLdier, si Q et Q' par exemple
coincidaient Ils con -stitueraieD t le couple homologue commun.