Étude géométrique des transformations birationnelles et des courbes planes, par Henri Malet.

34 CHAPITRE I.
Homographies projectives. - Conside'rons deux divisions homo.graphiquies porte'es par une droite D admettant deux points doublesQ
et R, et deux autres divisions 6galement homographiques sur une
droite D' admettant deux points doubles Q' et 13'. Joignons QQ' et RR'
qui se coupent en 0.
Soit M11 un point de la division Dl sur D. Joignons OM, et soit M'~ le
point o~i il coupe D'. Soit M2 l'homologue de Ml sur D. Joignons- 0M2
et supposons que cette droite coupe D' pre'cise'ment en M' homolo-gue
de M'1.
Je dis que si cette circonstance a lieu pour une position de M,, iell
a lieu pour toutes. En efflet, si P est le point d'intersection de 0M2 et
de DU, il de'crit sur cette derni~re droite une division homographique
de celle de M., par suite d e celle de M1 et de celle de M'. Si P coincide
avec M', cette homographie admet trois points doubles et se re'sout en
Une identite'.
Nous dirons que les deux homographies porte'es par D et D' sont
projectives. Elles le sont de deux faqons, en adoptant pour points de vue
les points QR, Q'R' et QR', Q'R.
Si l'on suppose les homographies proposees de'finies par leurs points
Joubles et par les valeurs constantes des rapports anharmoniciucs,
(QRM1l M2) = K,
(QfRM'IVM'M K',
on cnclt ausitt qu'il faut et suffit pour qu'elles soient projectives
que K K'W.
En particulier, deux involutions 'a points doubles sont toujours proectives.
Nous reviendrons plus loin sur cette proposition dans le cas d'homographics sans points doubles.
INTERSECTION DE DEUX GERIBES HOMOGRAPHIQUES.
Nou avns'tabli que lorsque deux gerbes homographiques O1 et 02
sont telles que le rayon 0 0 se corresponde a lu~e, les ravons
homologues se coupent sur une certaine droite.
Lorsque 01 02, cesse de correspondre 'a 02 01, il n'en est plus ainsi,
et le lieu des intersections devient un ensemble de points en comprenant une simple infinite',, visiblement continue, c'est-a'-dire une courbe.
Nous conformant 'a l'usage,. nous de'nommerons ces courbes coniques;
ceprcd' d'obtention sera pour nous leur definition.