Étude géométrique des transformations birationnelles et des courbes planes, par Henri Malet.

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CHAPITRE' 1.

Le point de la droito D qui coincide ge'ome'triquement avec Ml pent
etre envisage' dans la division D2; not6' dans ce cas P2, il a pour homologue dans la division DI. un point que nous nommerons P3. Lorsque M\l~
varie, M2 et P3 de'crivent deux divisions homographiques de celle de MI.
et par suite homograp'hiques entre elles. D'ailleurs un point double de
l'homographie de Ml et M2 est e'videmment point double de l'homographie (M. P3).
Supposoins alors que, pour une certaine posit.'ion do M, autre qu'un
point double, les deux points M2 et P3 coincident, c'est-a'-dire que le
point M, doniie le Meme correspondant consider6s conmme appartenant
3. i'une on a- l'autre des divlisons. Cela donnera un troisie'me point double
pour l'homographie (M2 P3) qui par suite se resoudra en une identite'.
Le Mneme fait se reproduira done pour tons les points, c'est-ai-dire qu'a'
tout point de la droite correspondra un seul point, le Meme quelle que
soit la division dans laquelle on l'envisage. Si l'on vout, le procede geom'trique qui r'alise l'homographie seradenusmtiu;lsortions qui le constituent donneront le meme re'sultat quand on renversera
l'ordre dans lequel on les fait so succ eder. Onnomme une telle correspondance ingoluition.
Si dans une involution so rencontro un point double Q, il s'en rencontrera un second R comine dans. toute homographic. Si, de plus, AB est
un couple homologue, il entraine lexistence du couple h~omologue BA.
La relation e'tablie plus haut s'e'rit
(QRAB) =const. =(QRBA).
Nous reportant bt la page 28, nous voyons quo nous sommes dans le
cas singulier du rapport (~ harmonique et quo la constante doit avoir
une valeur bien determin~e qui est avec la notation usuelle (- i). Parmi
toutes les homographies ayant les points doubles Q et R, re'sume'es par
la f ormule
(QRAi A,) = K,
il y en a uno et une seule qui est une involution (K - i. G'ome'triquemen t, si nou s prenons deux sommets 01 et 02 sur une droite passant par Q, toute droite passant par R priso comme lieu des intersections
de aisceaux0et2 de'finit une homographie (fig. i3):seule de'finira
une involution la droi-te passant par le conjugue' harmonique S doe
par rapport 'a 01 et 02. Los droites 01 A2 et 02 Al doivent, tout comme
01Al et 02 A2, so couper sur RS, et lon rotrouve la proprie'te bion connu e
des diagonales d'un quadrilate're complet, do partager harmoniquement
los co'tes.