Étude géométrique des transformations birationnelles et des courbes planes, par Henri Malet.

A

CHAPITRE 1'.

au point C1?& la place de D,; autrement dit, qpie
(Al13 DI C1) =(A 113, C1DI).
Le rapport harmonique n'est done pas modif~ie lorsqne l'on intcrvertit
les deux derniers points (ou les deux premiers); il exprime uine position
relative du couple Al B1 par rapport an couple C, D3 1.
Fig. 1 2.
Si le point C1_ s'61oigne hi linfini, le point D1 vi\nt a mlieu de Al. B1
le conu ague' har~inonique cit point a l'infini est done le mnilieu (li segmnent
des deux poiniS donnis.
L'expression cine nous venons d'6tablir pour lc rapport anharmoniqe ajou ungrand r'le dans les premieres recherches des g'om'tres
sur l'hom-ographie. Elle pourrait sans aucun inconv\~6nient log,,ique &Ltre
remplace'e par tonte autre expression qui serait foneti-1on de celle-ci
(logarithme, racine carre'e, etc.). Nons l'avons sign~ale'e ponr n'y plus
reei.Nons ferons de M me du proc'd' alge'briqne d'~tude de l'homographic qne nons allons rappeler pour m6mioirc tre's succeinclement.
Mdthode alg~brique. --- D~signons par x et xe' les abscisses de points
variables M et M' de detix droites, 'a par tir d'origincs respectives ehoisies
()On voit, facilement que, dans le eas dun rapport anharmonique quelconque
K (ABCD), on pent intervertir 1'ordre des deux premiers points, rnais fi la condition d'intervertir en memc temps 1'ordre des deux derniers. Autremenit dit, on a
(ABCD) =-(BADC) -_K.
11 suffit d'appliquer la fornmule donnant K en fonetion des Yecteurs d~termini6s
par les points pour le v6rifier identiquemenit.