Étude géométrique des transformations birationnelles et des courbes planes, par Henri Malet.

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CHAPITRE I.

cqui y figurent., nous sacoons construire georn~triquezn-ent le huitic'me d'tne
Iaipon unique et sans a bgte
Prenons comme division D2 une division toujours la m~rem dans
laquelle lions donnerons s A2 B2,C des poItin I ie. deviendra
alors le seul element variable du second membre, et sa position de'pendra
d'un vectenr, on ce qui revient an m ine si l'on vent choisir une lonugeur
unite6, d'une quantite' nume'rique (positive on ne'gative). On donne 'a ce
parame'tre, nombre on vecteur line'aire, le nom de rapport anharimonique.
Si K est la valeur du parame&.re correspondaint aux points MI et M'2, on
voit que la relation i6crite comme suit
(A, BIC, Al) =K
acquiert le sens suivant & ant donne'e une division droite, on peut de'terminer un de ses points M d'une fa~on compli'te et nnique par la connaissance de trois points de la droite et d'un param-letre, dit ((rapport anharmonique des quatre points pris dans i'ordre convenable )).
II suffit de mettre les rayons d'une gerbe ponctuelle en correspondance
avec leurs. traces sur une droite quelconque pour montrer cjue la de'ternmnnation d'un rayon de'pend. aussi de la connaissance de trois autres et
d'un rapport anharmonique:quelle que soit l'expression adopt6c pour
cc rapport, nous l'astreindrons seulement h avoir me'me valeur pour
quatre rayons et pour leurs traces sur' une droite.
L'existence et la conservation d'un rapport an~harmonique sont caracte'ristiques des transformations, auxquelles on applique Ie nom. d'hoznographic. Nous montrerons plus loin qu'elles peuvent e'tre e'tendues pour
ce qui concerne les transformations ponctuelles (qui sont alors englobe'es
dans le cadre des transformations birationnelles) 'a des ensembles de'
premiere grandeur qui forment une classe tre's importante. celie des
courbes, unicursales et me'me, dans certaines conditions,. a des courbes
plus complique'es.
Il est inte'ressant de remarqner que l'existenace d'un rapport anharmonique liant quatre points d'une division-droite t-ient -,A ce que deux divisions distinctes tracees sur la Mieme droite et mises en correspondance
univoque coincident lorsqu'elles ont trois couples homologues confondus.
Plus g6ne'ralement, on pourrait de'finir un parame'tre analogue dans une
division telle que nr points confondus seraient ne'cessaires pour la faire
coincider avec. une autre qui lui serait univoque, mais ce rapport lierait
alors (n +i) points.
lRtablissons rapidement la forme me'trique sons laquelle il est d'usage
d'exprimer le rapport anharmonique de quatre points A1, B1, C1, D, en