Étude géométrique des transformations birationnelles et des courbes planes, par Henri Malet.

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CHAPITRE 1.

de l'hyperbole. Le proce'de g~ome'trique serait cette fois, continu, mais
incomplet.
11nous reste 'a faire disparaitre les restrictions imps s au de'but hi
Ia crrepondnceA1 2. Soienit donc dans le cas gene'ral J2 sur D2 l'homologue du point 'a l'infrini de Dl et A1 A2 un couple homologue. Tra~ons
par Al une droite quelconqrue cjue lions noterons, E et projetons sur cell
la division D, dn point 0 intersec-tion de A1 A- avec la parallule 'a E
melleo paer J2.
La division E ainsi obtenue, homographi-que de D2, V'est par suite de D1
et de manie~re teile qu e le point commun ED1 on A1, est homologue de
ln-mme et que les points' Z l'infini se correspondent. Nous avons nmontr6
que de telles divisions sont projectives.
La correspondance univocjue generale on homographique entre Di
et D2 a done bien fte' ramenee 'a la succession de deux proectinl
D6termination de 'liomographie. - Une homographice oit le poinlt
commun aux deux droites se correspond 'a lui-me'me 6qtuivaut 'a
une projection. Collo-ci est de'finio par le point do vuc 0, don1t la conna-Issance se d'duit do celle de deux couples homologues MI M2 1 N2
11 est 'a l'intersection de ces deux droites.
Etant donn6e une homog'raphie cquolconque entre deux droitos DI.
et D, on est ramen6 an cas prece'dent par une proj ectioin auxiliaire, a
la seule condition de connaitre un couple homologne Al A2. Au -total,
trois couples homologues ont determine la correspondanco. Doit la proposition
L'homrographie de detux dieisions-droites est par/aiternent d~/n'ii Par la
connaissarice dle trois couples hornologues.
Voici la construction geoonitrique qui s'en de'duit Soient A1 A2,
B, B, C1 C2 les trois couples donne's. Par A1 menons uine droito quo1 -conque D' sur laquelle noues proj~etterons A2 B2 C2 an moyen d'un
point F pris quelconque sur A1 A.,. IUs viendront en A' B' C' A' cofincidantavec 1. Los divisions D' et D1 doivent e'trc 'a leur tour pro'ec
tives et lo point de vue 0 est 'a l'interscction. de B1 B' et de, C1 C'. Cherchons le conjugu6 d'un point cluolconclue Ml1 nous joindrons OM, qui
coupera D' en M', puis FM' dont l'intersection1 avec D. iious doinnera le
point chcrch6, (1. 'nsemblo de nos operations a nieccssite6 l'emploi do

(1) Cette construction est utilisable dans lespace; il suffit do choisir la droite D'
dans lc plan Al D,.