Étude géométrique des transformations birationnelles et des courbes planes, par Henri Malet.

INTRODUCTION ET GINERALITES. '5

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courbe S1 comme enveloppe de ses tangentes, et la transformer comme
telle. 1i faudra alors recourir 'a une correspondance transpos~e' de la pre&.
c dno sapiqatcette fois 'a la gerbe plane (P1). Pour clnu
grouperons les points de (PI) sites sur un drIteqecnu e
nous leur ferons corrospondre la courbe E2 enveloppe de leurs transform6es. L'homologue de S1 sera une courbe d~duite de l'ensemble des
courbes E2 de ses tangentes.
Or, la courbe E2 pettre en principe cjuelconque. Dans le cas de la
transformation correlative usuelle on primairo que nous 6tudierons plus
loin, F2 est re'duit 'a un point, et l'on voIt pie dans ce cas, si la transformation propose'e est Uunioque, eepel tre conside'ree comme faisant
-passer indiffe'remment de la division (Pl) ii la gerbe (G2) on de la gerbe
(P,) 'a la division (G2).Nous sommos amone' ainsi 'a conside'rer la correspondance correlative
primaire univocjue, qui ost la -transformation ge'neralise'e des p olaires
r'iproqfues, comme la superposition de deux transformatiostaposees l'uno de l'autre ot tonties deux de deuxie~me grandeur.
11 est possible 6galemon-1 et il pout t'-Lre int6ressant do Ia conside'rer
comme partie inte'grante d'une transformation toujours uni.Nocque mais
de troisie'mo -grandeur. En elfot, coiiside'rons dans le plan (P,) une16
ment tangentici, C'est-'t-dire an e'lement constiJtue' par un point Al et une
d iepassant par lui: de tels 616ments sont. en triple infinite'. Notre
transformation corrdlative fait corrospondre 'a la droite un point A2
et 'a A. ane droite passant par A2. Ii ost Clair quo A2 et cotte dernie're
droite rame'nent, par la transf ormation correlative univoque, 'a l'Me'ment
tangrentiel du de'but.
Groupe. de transformations. -Supposons connue une -transformation
quo nous notorons (ElE2) ot qui pormotte d'obtenir, connaissant
unI'ment A1 d'un ensemble (),un 616mont A d'un ensemble (E2)
do pusanotranforatin (2 F3) qui lasso passer d'un 'I'ment A2
do (F2) s un1 e'lement A3 d'un ensemble (E3). Noas nous trouvons ipso
facto savoir passer d'un e6lement A. do (Fl) 'a un 61.6ment A,, do (F3),
realisant ainsi uno transformation (F1 F3) quo nous appellerons rHstdtante des deux precedentes. Nous pouvons e'crire symboliquement
(El E3) ==(El E2) -- (E2E3).
Cola pose', on dit qu'un certain nombre (qui pout ektro infini) do transformations formont un groupe, lorsque la transformation resultante do