Étude géométrique des transformations birationnelles et des courbes planes, par Henri Malet.

238 ~~~~~~~CHAPITRE' VI.
En Sens inverse, etant donn6 in2 nous construirons sa polaire T. Mais,
pour qu' elle nous prete de de'duire une seule courbe G1 T et par
suite un seui point de contact in1, it faudra et sufliira que le groupenment G,
soit in~d Fapondeectngtilcommne ant point de t'ue ponctuel.
Ii faudra done constitner le groupement Gi1 an moyen d'e'l6ments qui
qivaillent suivant la fa~on de les consid~rer, soit uniquement e
points d~ternminants, Soit uniqcuement 'a des tangentes de'terminantes.
Yowci les principaux 616ments 'a employer
Valetutr Valeur
d~terminante determinante
ponctuelle. tarngentielle.
Pomnt ci. tan gente............... 2 2
Point double et Ses deux tangentes..... 3
Tangente double cet ses cleux points de
contact................. 4 5
Point (le rebr'oussernent ei sa tangente..
Point (linflexion cet sa tangfente...... 35
Point de r'ebroussemenm de detixikne esp~e
avec sa tangente............. 8 8
Prenons un exemple:Soit SI une conique qui, transforme'e par
polaires r~ciproques par rapport ai une conique C, donne une autre
conique S2* Pour constitner une birationnelle plane qni comprenne la
correspondance (SIS2), d~finissons Sur SIun gronpement mode F 'a in
fois ponctuel et tangentiel an moyen de deux points AI ei B1 de cette
conique et -de lenurs tangentes Ajx1, Blyl.
La transformation ainsi obtenne est cjnadratiqne et ii est facile de voir
que les droites A~xI, By1 et AB, sont les trois droites singuli ares de in
division plane qni comprend SI: tons leurs points codudisent h nn homologne uniqne qni est leur p Ole par rapport h C.
En particulier, supposons que S1 et C soient deux circonfe~rences, et
prenons ponr A1 et B1 les points cycliques, les tangentes i6tant les isotropes nmenees du centre 01 d~e S1* La construction devient la suivante
etant donn6 un point Ml, joignons 01MI et menons Mjz qui lui soit
perpendiculaire. L'homologue est le po'ie de Mjz. On voit aussit t que
la correspondance est bien birationnelle. Les triangles singuliers sont
constitn~s d'nne part par la droite de l'infini. et les isotropes de 01,
d'antre part par la polaire de 01 et les isotropes passant par le centre
de C.
On pourrait i'tablir facilement la correspondance plane qni comprendrait celle ri~alise'e par polaires re'ciproques entre deux cubiques ~a
point de rebroussement. Ii snifirait de prendre Snr l'nne d'elles un gron