Étude géométrique des transformations birationnelles et des courbes planes, par Henri Malet.

CORRIESPONDANCES SIMPLEMENT RATIONNELLES DE PREMIERE GRANDEUR. 257
correspondance obtenue sera toujours un cas particulier d'une correspondance birationnelle plane ou de plusieurs ()
Envisageons en particulier deux cubiques non unicursales. Toute correspondance
birationnelle i'tablie entre elles pourra e'tre conside're'e comme resultant d'une certaine transformation plane (T). Mais celle-ci est in somme d'un certain nombre de
transformations quadratiques, et une transformation quadratique ne peut modifier
la valeur)\ du rapport anharmonique de quatre tangentes mene'es 'a la courbe d'un quelconque de ses,points. Une succession de transformations quadratiques ne peut
davantage modifier ce coefficient, et deux cubiques admettant des valeurs de X diffT&.
rentes sont bien distinctes birationnellement.
Nous avons ve'rifie6 dans le cas le plus ge~neral le re'sultat annonce' page 100 que
les cubiques birationnellement distinctes sont une simple infiniti.
On en de'duit, sans qn'il soit besoin d'nne demonstration spe'ciale, que
les dux curbe S1 t S2doivent avoir me'me genre. Ajotosqn'elles
doivent avoir meme valence complete et, s'il s'agit d'une correspondance
birationnelle re'elle, me~me valence apparente.
Transformation corr6lative. - Un eas particulier inte'ressant d'une
correspondance birationnelle obtenue directement de courbe 'a courbe
est celni que ri'alise une transformation corrilative, on, en particulier,
une transformation par polaires re'ciproqnes.
Une telle transformation est en re'alite6 une correspondance de troisie'me grandeur binnivoque entre les elernents tan gentiels (point. et droite
passant par lui, en triple infinite6) de deux plans. Limite'e 'a l'ensemble
simplement infini que constitne- une courbe, elle e'quivaut 'a une transformation ponctuelle et birationnelle.
Soient donc S1. et S2 polaires re'ciproques par rapport 'a une conique C.
Nons allons indiquer nn proce'de qui permet d'obtenir dans certains cas
une birationnelle plane dont leur correspondance fait partie. De'finissons sur SI un groupement GI mode F. Soit m1 nn point dn plan et consid~rons la courbe G1 in1. Soft T sa tangente en in1; faisons corres-1
pondre 'a ml1 le p'le in2 de T par rapport 'a C.
()Au point de vuc analytique, ceci veut dire que si 1'on a re'alise' une correspondance birationnelle entre deux courbes Q., = o et CD2 o au moyen de relations
X =f(x,y, Z), Y =zf2~,(,yZ), Z =f3(X,y,Z),
il sera toujours possible de construire de nouvelles relations
F1j1p) 'F, 2(J2?icp), Z 3- (f3cp1cp2)
de'finissant une birationnelle plane.
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