Étude géométrique des transformations birationnelles et des courbes planes, par Henri Malet.

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CHAPITRE, I'l.

Qesignifie en elfet gebon-ihtriquement le fait d'avoir pu 'tablir une
correspondance birationnelle entre S1 et S2? Ii suppose
iO Que l'on a obtenu un mnoven de de'finir un point courant n't sur j,-o Que i'on. a obtenu un moven de de'finir un point courant 1J? sur S
30 Que l'on a &tabli entre ces deux moyens des relations conduisant
a une correspondance univoque des points.
Or, Si nous ecartons le ceas des unicursales, ofl le raisonnement est
presque immb~~diat, la dbfinition d'un point courant sur npette
obtenue an moven d'une seule famille de courbes; ii faudra deux f amu'les F1 et 4F1, et un point "k, sera db'fini par la connaissance d'une
eourbe de chacune. Ii est clair qu'une relation non univoque attachera
entre elles les courbes des deux families.
De Mme,-n un point courant rn2 u ser d In praconissance
de deux courbes appartenant ~i deux familles F2 et qP2.
Enfin, les parambtres de j, F)1, F, (1)2 seront lie's par certaines cor-,
respondances.
Cela pose' supposons que S1 et S2 ne soient pas des courbes isole'es;
choisissons sur chacune d'elles un groupement mode F cqui solt essentiel.
Soient S' et S' deux nouvelles courbes des faisceaux ainsi de'finis. Rien
ne pourra s'opposer &videmment 'a ce que l'on constitue des families
F' F'4 F' 14 composetes par rapport ai SI et S' comme les pr~ce'dentes
par rapport hi S et S2, re'alisant entre S' et S' un e correspondance birationnelle.
Ii suffira alors de lher homogTraphiquementL les paramebtres des faisceaux ponctuels de S1 et S2 pour obtenir une correspondance birationnelle de plan 'a plan. Un point du plan de S, entrainera une certaine
courbe du faisceau correspondant; on en de'duira une courbe unique du
-faisceau de S2 et sur celle-ci un point et un seu1 homologue du premier
et fice eersa.
On voit clue, s'il est possible de rdaliser entre deux courbes donnees unfe
correspondance birationanelle par un procedW ge'omnetriqune qutelconqtte, la
plus birationnelles, hormis le cas exceptionnel oii S1 et S2 passeraient pr~cis~ment
par le groupement mode H coMMUn- t/j, /2 et f3.
Or, cette proposition d'analyse qui ne concerne quo les proe6d6s de r6alisation
alg~brique d'une correspondance pourrait faire croire th premi~re vue qu'il puisse
exister entre deux courbes S1_ et S2 des correspondances birationnelles g~omn'triques
qui iie puissent e'tre obtenues coinmie ca2S particilier dune transformation bircttionnelle
plane. Ii n'en est rien, sauf peut-e'tre dans le cas de courbes isolkes.