Étude géométrique des transformations birationnelles et des courbes planes, par Henri Malet.

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CHAPITRE Ill.

de'crire la cubique en me-me temps que in. Ii en est de mebme pouir les
autres itretosm et I'~ des rayons Qilm et QOm'. C'est dir qe
la liaison entre PMn et Qin doit IYtre telle qn'lecmrnetn e
rayons de'fini~s avec Q par les intersections de Pmn, et de tm~ne tons cenx
db'finis avec P par les intersections de Qmn.
Gente liaison ne pent C~tre autre ql' une correspondance s'implern-enit
rc'tionnelle de genres i et i entre les gerbes P et Q. Tont qu~adrilate're
complet de sommets Q ct P ayant trois so~mnets suir S doit y avoir egalement le qnatrienme. Nons avons vn cjne cette 'circonstance se rbalise
ar la condition que P et Q soient cotangentiels.
Voici done comment inons proce'derons
Prenons sur S deux points quelconcjnes cotangentiels P et Q, et deux
antres P' et Q'sur 5' e'galement cotangentiels. Choisissons arbitrairement trois points a, b, c sur S, trois autres a', b, c' Sur S', et envisageons
les homogyraphies de sonmmets P et P', Q et Q'definies par les couples
Pa, P'a, Pb, P'b', PC, P'c et Qa, Q'a, Qb, Q'b, Qc, Q'c.
Ii est facile de voir que ces homographies transforment les gerbes P
et Q (en correspondance simplement rationnelle db'finie par la cubique 5)
en deux gerbes en correspondance simplement rationnelle qui so coupent
pirecise'ment suivant la cubique S'.
Etant donnb' alors tin point in, nous construirons les homologues de
Pm)- et QMn et leur intersection nous f era connaitre ]e corresponrdant in',
situe' sur 5', unique et bien cleterrnine.
Nous aurons rbalise' une correspondance birationnelie entre les points
des deux cubiques S et S', 'a condition cependant cjue les opbrations que
nons avons envisagebes solent realisables. Or, la continuiteb exige que
nonLs fassions correspondre aux points infin~iment voisins cine de'finissent,sur S une. tangente mene'e de P 'a cette courbe deux points de S' b'galemerit infiniment voisins; autrement dit, aux quatre tangentes mene'es
de P 'a S doivent correspondre les quatre tangentes menebes de P'a Si ',
-cc qui montre que ces quatre droites doivent avoir, dans les deux cas,
meme rapport anharmonique.
Mais nous savons que le rapport anharmonique des quatre tangentes
mences ar rime cubicjne d'uin do sos points est rim coefficient imtrins'que,
-do la courbe; ii ire de'pend pas de la position du point choisi. Cotte condition sera done rebalise'e en prenant deux points P et P' quelconquos,
-on elle ne le sera jamais.
La mise en correspondance birationnelle do denx cribiques n'est done
possible, par le proce'de que nous venons d'indiqUer, que si les cubiques
proposees ont mnmme rapport anharinonique des tan gentes. Nous mon