Étude géométrique des transformations birationnelles et des courbes planes, par Henri Malet.

C0RRESPONDANCIE'S SIMPLEMENT LRATIONNELLES DE PREMIE~RE GR.XNDEUR. 253
On voit qu'il existe une transformnation quadratique et une settle qu-i
f asse passer d'une cubique unicursale donne'e 'a une autre cubique donne'e,
de manie're que trois points de la premie're aient pour homologues trois
points determines de la seconde.
Il serait facile de construire des transformations de degr6 3 qtuil
miettent en correspondance deux cubiques unicursales donne'es; ii y eni auine infinite'. NouLs ne pousserons pas plus loin cette question, nous
bornant 'a observer que le degre' de la transformation ne'cessaire pour
passer d'une courbe unicursale 'a Lune autre se ra en g6ne'ral tre's inf~rieur
an nom-bre pp' indiqu6 plus haut.
Courbes non unicursales. -Sur unie courbe qui n'est pas unicursale, il n'est plus possible de de'finir un seul point mobile, et il faudra
n~eessairemient agir en deux operations mettre en correspondance
d'abord deux ensembles,.- ensuite deux points hi linte'rieur de ces
ensenibles.
Voici un procedW qui nous conduira 'a mettre en correspondance birationnlelle les points de deux cubiques quelconques S et S'.
Un point de S ne pent htre de'fini au moyen d'un seul parame'tre, mais
il peut I'etre au moyen de deux; par exemple soient P et Q deux points
fixes de 5, un point variable in' pourra e'tre dei~fni par l'ensemble des
rayons (Pmn, Qm). La donn~e du seul rayon Pmn de'finirait deux points
de 5, mn et la deuxie'me intersection variable in'. Astreindre in 'a de'crire
Fig. i io.
la cubique S e'tablira une liaison entre les rayons des gerbes P et Q, telle
qu'ah tout rayon de l'une correspondront deux rayons de lFautre.
Mais le role de in et celui de in' ne peuvent etre distingue's; mn' doit