Étude géométrique des transformations birationnelles et des courbes planes, par Henri Malet.

C)nRESPONDANCES SlMPLEMENTr RITiONNELLES DE PRE'MIIIERE GRcANDEUR. 291
Dans l'homographie de la gerbe ponctuelle A et de la conique C, construisons les homologues b' et c' de B et C, et o e-t a des tangentes a S
en A. La droite oc est manifestemnnt la droite homologue de A, c'esth-dire B'C'.
Soit, d'autre part, a le troisieme point d'intersection de S et de BC;
son homologue A' sur C est le point singulier transforme de BC. A'b'
et A'c' sont respectivement les droites singulieres A'C' et A'B', et
coupent a. en B' et C' que nous avons ainsi determines.
Fig. o18.
I
fm /
Nous allons verifier que la transformation quadratique d6finie par
les points singuliers A,B, C, A',B', C', et par un des couples proposes, mnm'
par exemple, r6pond h la question. En effet, la transformree par elle de
la cubique S est une conique qui doit passer par A' c, P, m' de maniere que
le rapport anharmonique soit 6gal a A(att'mn); cette courbe, parfaitement d6finie, coincide avec S.
II y a une double infinite de solutions, puisque nous avons pu choisir
arbitrairement B et C sur S.
Consid6rons maintenant deux cubiques unicursales S et S', de points
doubles A et A', dont la correspondance est definie par trois couples
donn6s. Cherchons encore une transformation quadratique qui comprenne
la correspondance proposee.
Nous prendrons les points doubles A et A', dans chaque division