Étude géométrique des transformations birationnelles et des courbes planes, par Henri Malet.

2.jo

CHAPITRE VI.

250 CILAPITREI I
Sur iune quartique at point triple, le parame'tre utilise' pent &tre un
rayon variable de la gerbe 0; sur une quarticjue 'a trois points doubles,
une conicjue du faisceau de'fini par ces, trois points et tin quatrie'me pris
arbitrairement Sur la courbe, etc..Nous savons cjue deux conicjues peuven-t- toujours e're consid~r~es
comme homologues dans une infinite d'homographies planes:toutes
celles d~finies par quatre couples de points pris sur ces courbes et y presentant le me~me rapport anharmonicjue. Nons allons montrer que, d'une
faeon generale
Deux courbes unicursales peucent e&re considrcees conune hoinologutes
dans des translormrations birationnelles planes, et toutes leurs corrcspondances birationnelles de courbe a' courbe resultent des precedentes.
En effet, supposons rebalise'e nne correspondance birationnelle entri?
denx unicursales U et U', dbfinie par les couples homologues AA',
BB', CC'. Nous savons que U pent e'tre pris pour orthogb'ne (1) clans une
transformiation plane de degr6 p; elle aura alors pour homologue dans
la division correspondante une, droite D, suir laquelle A, B, C seront transformes en a, b, C.
De me'me 11 pent ctre transformebe par une transformation de degr6 p'
en une droite D'; A', B', C' venant en a', b', c'. On passera de D 'a D' par
une homographie an', bb, cc'. Au total, nous aurons 6tabli une correspondance birationnelle entre U et U', admettant les couples AA', BB',
CC' (c'est-a'-dire cofucidant avec la corr espondance propose'e) anumoyen
d'une transformation plane, Somme de deux transformations de degre's p
et p'. Le degreb de la rbsultante sera en gebne'ra de degreb pp', mais il est
clair que des transformations beaucoup plus simples pourront frebquemment etre obtenues.
Cubiques unicursales. Soient d'abord S une cubique unicursale,
de -point double A, et une conique E. Supposons 6tablie entre ces deux
courbes une correspondance birationnelle d~finie par trois couples de
points homologues mnm', nn', pp'. Cherchons 'a determiner une quadraticlue plane qui comprenne cette correspondance particulie're.
N o us prendrons nebcessairement le point A pour point singulier sur S.
Choisissons sur la Meme courbe arbitrairement les dex aurs B et C.

(1) Ceci n'cst pas exact sli U est mme unicursale anorihog~ne, mais nous savons qU'ele
pcuLt encorc e'tre misc en correspondance hornographique avee une droite; seulement
cette fois le degre de la transformation plane utilis~e n'est plus ne'cessairement p.