Étude géométrique des transformations birationnelles et des courbes planes, par Henri Malet.

CORRESPONDANCES SNIMPLEMENT RATIO-NNELLES DE PIREMIE~RE GRANDEUR. 249

CAORRESPONDA\CES BJIRATIO~NNELLES DE (013 HBE A COURBE.
Examinons dans quelles conditions ii est possible d'e'tablir une correspondance bi~rationnelle entre deux courbes donn~es, et en particulier,
recherchons quand et comment une pareille correspondance pourra e'tre
obtenue comme re'sultant d'une transformation birationnelle de plan
h plan.
Gas des unicursales. -Un cas simple et important est celui de
deux courbes unicursales. Deux telles courbes peuvent tou/ours e'tre
ritses en correspondance birationnelle d'une Infinite' de facons et cette
correspon dance pen etre ton/iours d~dulte d' une correspondance plane.
En efl et, sIen UtU'dux courbes uinicursales de degr's p et p'.
Nous savons qu'il est possible de de'finir, par des constructions geombtriques dbpendant d'un parambtre 0, un point mobile unique sur la
courbe U; de Meme, un poinL mobile sur U' pent etre de'fini en fonction
d'un paramb'tre (J.
Il suflit d'6tablir une correspondance homographique entre les param'tres 0 et 0' pour qu'une correspondance birationnelle en r'sulte entre
les points mobiles de U et U'. Cette correspondance est de'finie d'une
maniebre unique par la donnebe de trois couples de valeurs des paranehtres
on,1 ce qui revient au me~me, de trois couples de points homologues.
On en db'duit que la correspondance r~alise'e entre deux courbes unicursales est la mebme, quel que soit le proced6 employe', de's l'instant
que trois couples homiologues coincident; il y-, a done une liaison entre
quatre points A, B, C, D d'une courbe unicursale et l'on pent defminr
un rapport anharmonique (ABCD) 6gal (ou du momns lie') 'a celui des
quatre paramb'tres.
La correspondance birationnelle 6-tablie entre deux divisions portebes
par des courbes unicursales a done la plus entiebre analogie avTec l'homnographie de deux divisions droites, et l'on peuit lui appliquer le _meme
nom.
Nous avons de'j'a e'tudi6 l'homocraphie suir les coniques. Soit une
cubique S de point double 0; on dbfinit sur ell-e un point variable au
moyen des droites passani par 0, et le rapport, anharmonique de quatre
points A, B, C, D, stir la cubique, sera celui 0 (ABCD) du faisceau des
droites qui les joignent, a 0. On pourrait tout aussi bien employer des
coniques passant par 0 et trois points fixes de la courbe:elies db'finiraient un seul point variable, le sixie'me point d'intersection.