Étude géométrique des transformations birationnelles et des courbes planes, par Henri Malet.

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ClINPITRE VI.

On determinera le point a' cui correspond hi la cubique demand,6e qui
passe par d en joignant' Od et OWd, puis les i ntersections respectives de
ces droites avec C et C'; la droite obtenue coupe GO' en a'.
2-0 QUARIcTQUE. -Si l'on envisage deux involutions de deux droites
d6fiuies par deux coniques C et C' passant par leurs sonmmets 0 et 6',
et par un me'me centre a' exte'rieur 'a la droite 00', leur intersection est
cette fois une courbe du quatrie'me degr6 ou quartiquc, pour laquelle 0
et 0' sont des points doubles.
Elle passe par les intersections de C et C', par celles de C avec w O',
de C' avec 0'.
Nous pouvons encore de'duire de la' une construction de la quartique
de'finie par des points donne's, 'a la condition que parnmi eux figureut les
deux points doubles 0 et 0', et que quatre autres a, b, c, d soicut sornmets d'un quadrilate're complet dont les deux autres sommets sont 0
et 0'. Les quatre derniers points peuvent &Lre quelconques:nous les
noterons e, ~,g, h.
Pour cela, tragons une droite guelconque A et supposons cju'elle soit
le rayon e'mane' du point a' inconnu cjui conduit 'a l'obtention des points ca,
b, c, d. Cela exigera que les points ac et (P out elle coupe Obc et Gad appartiennent ~t la conique C, les points cx' et ~'out elle coupe G'ab et G'cd
a la conique C'. De'terminons ces deux coniques en les faisaut passer en
outre l'une 'et l'autre par e et /.
Toutes les guartiques, et elles sont toutes celles d'un faisceau ponctuel (1), qui resultent de l'intersection des deux gerbes en correspondauce
de genres i et i que de'finissent les conicjues ainsi obtenues et un point a'
variable sur A, admetteut 0 et 0' pour points doubles et passent par
abcdef.
Chterchons la quartigue du faisceau qui passe en outre par le point g.
Joignons Gg et G'g. Ces droites coupent C et C' respectiveument en y
et y'. La droite yy' doit passer par le point a' gui estL par suite 4c son intersection avec 'A.
Ainsi, sur la droite A, iH y a un point et un seul qui, pris pour a', conduira 4t une quartigue passant par g. Comuc il en est ainsi sur toute
droite A dui plan, le lieu du point en cluestion, c'est-a'-dire du point cqui,

(1) Le groupcment complet du faisceau comporte, outre los six points, dont deuix
doubles, quo nous y avons volontairenment introduits, los doux autros points d'intcrscction do C ct C', inn d'eux jouant le ro'lc do point entrain6.