Étude géométrique des transformations birationnelles et des courbes planes, par Henri Malet.

'240

CHAPITRE VI.

regle seule (the'ore'me de Pascal), ou ramen'e par homologie 'a une circonference, par la construction indique'e an Chapitre II.
2,0 UNICURSALE DE DEGRE, p. - Uine unicursale rayonnante de degr'
resulte de- lintersection de deux gerbes ponctuelles en correspondance
de genre (p - 2-), c'est-a'-dire d'une gerbe simple et d'une autre constitu~e par une involution de (p - i) droites.
Une involution de (p -i) droites de sommet 0 est de'finie par une
unicursale rayonnante U de degre6 p - iet un point exte'rieur w. La
courbe U admet 0 comme point multiple d'ordre (p - 2) et sa de'termination exige en outre (r )o~2 p-)~2(p - i) points.
D'autre part, la courbe des intersections S h construire rav~onnante
de degr6 p, admet 0 'a lordre (p -i) et est d~finie en outre, par 2_,
points donne's.
Si nous remarquons encore que la courbe S passe ne'cessairement par
le point 0' et par lFintersection h de la droite auxiliaire A et de w'0, nous
raisonnerons exactement comme ci-dessus, et, choisissant pour 0 et h
deux des points propose's, choisissant en outre une droite A passant
par h et. un point w sur Oh, nous de'duirons de chacun des (2p - 2_)
points restants un point que devra contenir la courbe U. Celle-ci est
entie'rement d~finie par 0 et ces 2> (p -i) points.
Nous avons done resolu le proble'me de construire, par points une unicursale ravonnante de degr6 p connaissant le point multiple et 2, p points
arbitraires, a condition de savoir deja construire une unicursale ravonnante de degre' (p -i) dans les me'mes conditions. C'est donc en quelque
sorte une resolutioii ((par recurrence ~
On verrait que la construction obtenue n'est autre chose, comme tout
at lheure, que la re'alisation d'une transformation cjuadratique.
Courbes non unicursales. -Passons au proble'me, beaucoup plus
nouveau, de la construction de courbes de degr6 quelconque n, -mais
telle s que leur groupement singulier soit compose' de deux points 0 et 0'
d'ordre p et q tels que p +q =n ou p +q n -i. Leur genre est
dans l'un et l'autre cas g::-pq -(p +q) i.
Dans le premier cas, la courbe se construir~a comme intersection de
deux gerbes ponctuelles de sommets 0 et 0' en correspondance de genres
(p - i) et (q -i) avec emploi d'un centre auxiliaire wv quelconque;
dans le second cas, comme intersection de deux gerbes des me'mes sommetLs, mais en correspondance de genres p et q avec emp-loi d'un centre
auxiliaire situe sur la droite 00'.