Étude géométrique des transformations birationnelles et des courbes planes, par Henri Malet.

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CHAPIrRE VI.

CONSTRUCTION DES COURBES. CLASSIFICATION DES CUBIQUES.
Les theories (jue nous venous de faire sur les correspondances simplement rationnelles de divisions droites et de gerbes ponctuelles peuvent
etre utilise'es pour la construction par points de courbes algberiques.
La consideration des intersections de deux gerbes en correspondance
rationnelle de genre p conduit i' la construction d'une unicursale rayonnante de degre (p + i), en utilisant une unicursale ravonnante de
degre' p, nicessaire pour de'finir la correspondance.
Celle des intersections de deux gerbes en correspondance de genres p
et q conduit 'a la construction de courbes de degres (p + q) on (p + q -
en partant d'unicursales rayonnantes de degre's p et q.
Unicursales rayonnantes. - IO CUBIQUE. - L'emploi des theories
pr~cidentes va nous faire obtenir pour les unicursales une construction
a laquelle ii pourra etre pratiquement interessant de recourir, mais qui
ne fera que r6soudre autrement un proble'me d6ja connu. Nous savons
en effet que les unicursales rayonnantes, comme d'ailleurs des unicursales quelconques, peuvent etre construites par points, apec la sectle
regle, ' la condition de connaitre tous leurs points singuliers, et en utilisant plusieurs transformations quadratiques successives.
Venous 'i l'emploi de gerbes en correspondance rationnelle et examinons -en premier le cas du genre i qui conduit 'a construire une cubique
unicursale.
L'intersection de deux gerbes 0 et O', la premiere e'tant constituebe
par une involution de deux droites et la seconde par une gerbe simple,
est une cubique qui possede le point 0 comme point double et le point O'
comme point simple. De plus, soient w et C un point et une conique passant par 0 qui definissent l'involution de sommet 0, A la droite qui
debfinit l'homographie de la gerbe 0' et de la gerbe auxiliaire a; on voit
facilement que, quelle que soit C, la cubique passe ne'cessairement par
le point d'intersection h de A et de Ow.
Ceci pos6, proposons-nous de construire une cubique qui admette
comme point double un point que nous noterons 0, et qui passe par
six autres points donnbs. Parmi ceux-ci, nous noterons l'un 0', un
autre h. Noiis choisirons pour droite -A une droite quelconque passant
par cc dernier ct comme point w un point quelconque situe' sur Oh.
Soit a un des quatre points proposes resta;nts. Joignons Ga et O'a. Cette