Étude géométrique des transformations birationnelles et des courbes planes, par Henri Malet.

CORRESPONDANCES SIMPLEMENT RATIONNELLES DE PREMIEI~RE GRANDEUR. 23
Pour avoir les points admettant pour polaire rectiligne une droite
donn6e D, c'est-a'-dire ses p6les, ii suflit de conside'rer les, intersections
des polaires premieres de deux points de D. "On voit qu'une droite quelcoqea(p - 1)2 paes, dont (U - )2 toujours confondus en chaque
point multiple d'ordreit
On montrerait que le lieu des points tels que leur polaire conique pp-2/)
passe par un point donnea 0 est la polaire Iseconde de 0; il f audrait pour
cela envisager une correspondance de genres (p 2 9) et 2 et nous n'entrerons pas dans le detail de cette question.
Traces d'un faisceau ponctuel sur une droite. -Conside'rons un
faisceau ponctuel de courbes de degre' p, et une droite quelconque D
du plan. Les courbes du faisceau coupent D en p points variables, tels
que la 'donn~e de l'un d'eux permet de de'finir les (p - i) autres d'une
fa~,on unique et sans ambigu Re'. De plus, partant de l'un quelconque des
-p points d'un groupe, on retrouve toujours le me'me ensemble.
Ces points constituent par suite une involution de p points. Ce nouveau proc6de' de generation des involutions de p points pourra permettre
de leur de'couvrir de nouvelles proprie't~s. En sens inverse, il permettra
souvent d'e'tablir des proprieties des faisceaux de courbes.
Combien de courbes du f aisceau seront par exemple tangentes 'a la
droite D? Cette circonstance se produira lorsque deux des points d'interIsection seront confondus, c'est-a'-dire chaque fois que l'involution pr6 -sentera un point de confusion. Nous savons qu'il y en a 2- (p -i)
C'est ainsi que dans un faisceau ponctuel de coniques, il y en a deux
tangentes tiune droite donne'e. Dans un f aisceau de cubiques, il y en
a quatre.
Corre'lat'ivement, dans un faisceau tangentiel de courbes de classe p,
ii v a 2 (p i ) courbes passant par un -point quelconque donn6'.
Exercices proposf s. - I. E~tudier 'directement la correspondance rationnelle de
genre ientre deux divisions sur une droite,. en les supposant trac~es, l'une par les
coniques d'un faisceau, lautre par les tangentes A~ ces coniques en iun des points
fixes. Reconnailtre quil y a trois points doubles et deux points de confusion.
II. Construire des correspondances rationnelles de genre p entre gerbes ponctuelles de n~me som'met, en supposant connus les rayons doubles, un certain nombre
de couples homologues, les autres homologues (dans la gerbe multiple) d'un on plusieurs des rayons -doubles, etc.
til. VWrifier que la construction des p d~riv~s harmoniques d'un point, par rapport h (p + i) points donn~s, conduit bien, dans le cas oii p i, au conjugu6 harmoniquc orclinaire.