Étude géométrique des transformations birationnelles et des courbes planes, par Henri Malet.

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CHAPITRE VI.

tangentes 'a la courbe S:la polaire P(,,-,) qui est une droite u'est
autre que la tangente en 0.
Si la courbe S admet un point A comme multiple d'ordre ut, nous avons
vu qu'en ce point passent it - branches de la polaire premi're, c'esta-dire qu'il est pour cette courbe multiple d'ordre (it - i). II l'est
d'ordre (ut 2 ),... pour les polaires P"...
Le point unique, obtenu sur une droite en partant d'un point 0 et
par (p i) derivations successives par rapport a p points proposes, est
ce que l'on nomme le centre des rnoyennes harmnoniques de 0 par rapport
aces points. Nous pouvons e'noncer en vertu de ce' q'ui prece'de le the'ore'me
suivant, du~ an ge'ometre anglais Co'TES (1)
Le lieu des centres des mnoyennes' harnizoniques d'un point par rappor't
aux intersections des droites passant par lii ac)ec une courbe algebrique
quelconque est utne droite.
Etant donne's p points Al,,.A2,..., AP sur une droite D, soient 0Oun nouveau point, 0' le centre des movennes hbarmhoniques de 0 par -rapport
aux A. On passe de 0 'a 0' d'une maniebre univoque, mais il est clair cine
1'on ne revient pas de me'me de 0' 'a 0, sans quoi leur correspondance
serait homiographique. En rbalite', elle est simplement rationnelle et
nons allons rechercher son genre g.
Mais, 0 et 0' coincident lorsque 0 coincide avec 1'un des points A et
dans ce cas seulement. La correspondance (00') a done p points doubles,
cc qui montre qu'elle esi de genre (p -29) et qu'a' un point 01' correspondent (p -i) points 0.Un me'me point 0' est done le 'centre des
nmoyennes harmoniques par rapport 'a A., 2~.. ~A de (-)pints
diffehrents, qui ne sont autres que ses (p - i) d6rive's harmoniques par
rapport aux A' 2
Cela pose', soient S une courbe de degrb' p, 0 un point exte'rieur et D
une droite quelconque passant par 0. Chacun des (p - i) de'rivebs harnmoniques de 0 par rapport aux intersections de S et de D admet 0 comme
centredes moennesharmoniques, et par suit a orplaire rectilig~ne P(P-1) une droite passant par 0. On voit que
Le lieu des points du plan tels que leur polaire rectiligne passe par un
point donnd 0 est la polaire preinie're de 0 par rapport a' la courbe donne'e.
()Roger CO'TES (i682-i7i6), professeur As I'Universit de Cambridge.
(2) On le voit en remarquant que si des p points A deux viennent 'a ktre confondus en Ai, lune des solutions disparaft et doit e'tre consid&r~e comme constitu~ee
par le point Ai lui-me'me. Cette circonstance est caracte'ristique de la loi d'obtention
des dt'rivt~s harmoniques.