Étude géométrique des transformations birationnelles et des courbes planes, par Henri Malet.

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CHAPITRE VI.

Cette courbe coupe une se'cante passant par 0 en (p -i) points
variables. De plus, elle ne passe pas par 0 tant cjue. celui-ci est exterieur
a la courbe S (c/. p. I-3o). C'est done une couirbe de degreb (p -i)
Examinons ses intersections avec la courbe S. En un point d'intersection I, un dbrivb' harmonique coincide avec un des points proposes;
ceci. ne peut avoir lieu, avons-nous vu, que si. deux des points proposbs
viennent se confondre en t. Il faut done qu'en un tel point, deux branches
de S se rencontrent (point multiple) on que cette courbe admette 0i
pour tangente.
Mais S et P out p (p - i) points d'intersection. Nous parvenons a.
l' inmportante proposition suivante
La classe maxima d'une courbe de degre p, se rencontrant dans le cas
d'une courbe sans points multiples, est e'gale a' p (p - i) ()
En outre
Les pieds des tan gentes mnenees d'un point 0 a' une courbe de degre' p
sont sttite's sur une courbe de degre' (p i) qui est sa polaire premiere.
Par exemple, les points de contact des six tangentes menees d'un
point extb'rieur 0 'a une cubique sans point double sont sur une conique, etc.
Mais la classe d'une courbe n'est pas tou~jours b'gale 'a p (p - i). S'il
existe un point double, la polaire P passe par lui, donnant deux points
d'Iintersection auxquels ne correspondent pas de tangentes. Plus ge'neralement, s'il existe un point, multiple A d'ordre cc, la se'cante OA ne coupe
plus qu'en p - c + points disti ncts, donnant (p - c) dbrivb's distincts (oc - i) sont.venus se conf ondre avec A. La polaire P admet A
comme multiple d'ordre (oc - i) et coupera la courbe en gb'nbral en
0C (or. - i) points conf ondus; ii f aut ajouter autant de points qu'il y
aura de tangentes communes 'a S et P.
Or, ac (cc r- ) est le double de ce que 'hous avons appelb' la paleur en
points doubles D du point multiple d'ordre cc.
(1) Cette proposition a W i6tablie par les analystes it la fin du xvine sii~cle. PONCELET
en a donn6, vers i827, une demonstration g~om~trique. Celle-ci, tr~s inge'nieuse,
pre'te maiheureusement At la critique, -et ne suffit pas At convaincre les esprits. GERGONNE (i77i-i859), notable mathematicien de cette 6poque, estimait que cc nombre
((p (p - i) n'est qu'un maximum qui pourrait fort bien n'e'tre jamais atteint. Eu
particulier, il ne, congoit pas bien une courbe qu'une droite ne pourrait couper
qu'en trois points sculement, et At laquelle ne'anmoins on pourrait mener six tangentes d'un me'me point de son plan)) (Bulletin des Sciences de JNkrussac, octobre I 828).