Étude géométrique des transformations birationnelles et des courbes planes, par Henri Malet.

CORRESPONDANCES 5 IMPLEMENT RATIONNELLES DE PREMIERE GRANDEUR. 23"3

Une conique quelconque passant par Obc d~finira une correspondance r~pondant
ai la donn~ie (fig. 98).
La conique serait enti~renment de'inie si nous nous 6tions impos6 par exemple un
syst~nme hoMolog0,uc m?1/m12, mn,' qui aurait conduit aux deux points Ct et 3
Pour quc les points in, inc soient les derives harmoniques dc nil par rapport h a, b, c,
ii faudrait que w O passAt par lc p6le w' de la droite, D. Ccci conduit h proc~der de
la mnaniire suivantc par b ct c faisons passer une conique quelconque C; joignons wn a
et notons 0 un des points d'intersection. de W'a avec C. De plus, prenons pour in le
conjugu6 harmonique de wn' par rapport A Ga. On voit cette fois que la construction
est enti~~rement d6termin~e.
Supposons que deux des points proposes b et c viennent h so confondre. La conique C est tangente h la droite D (figf. 99); en g~n{~ral, les deux honmologues mn2
Fig. 99.
ct in' d'uni point in1,, s-e d~terminent sails aucune difficulte'. Par contre, la construction relative au cas des d~riv~s harumoniques tombe en d~faut; le pole in' se confond
avec be, la droite aGO ne peut passer par lui sans se confondre'avee D. On est conduit
A recourir At une conique d~compos~e en la droite D elle-m~rme et une droite nouvelle, avec laquelle la construction d~duite fait obtenir le conjugue' harmonique ordinaire 'par rapport fh ab.
Remarquons que, le point hi linfini n'e'tant interveliu 'a aucun moment avec un role difitrenci6, les points de'riv~s harmoniques que, nous
avons de'finis sontf- des 6l6ments pro/ ecti/8; autrement dit, si l'on tranlsporte homographiquement de D sur une autre droite D' les points mn,
a, a,.. en in>' a, a.,,... les (p - ) de'rive's harmoniques de in' par
rapport i a', a12... sont les homologues des (p -r) de'rive's suir 'D.
Polaire premi~re. Classe. Ceci pose', conside'rons une courbe
quelconque S de degre p, et un point 0 du plan qui lui soit exte'rieur.
Sur toute se'eante passant par 0, S donne p points d'interseetions.
Construisons les (p- i) de'rive's harmoniques de 0 par rapport 'a eux.
Lorsque la s6cante tourne au-tour de 0, ces points ont pour' lien une,
courbe que l'on appelle la polaire premiere P de 0 par rapport 'a S.